雷喬杜里方程

在廣義相對論中，雷喬杜里方程（英語：Raychaudhuri equation），或朗道–雷喬杜里方程（英語：Landau–Raychaudhuri equation）^[1]是描述鄰近物質運動的基本方程。

它不僅是彭羅斯-霍金奇點定理和廣義相對論的精確解研究的基本引理，還具有獨特之處，即它指出引力應該是廣義相對論中任意質量-能量之間的普遍存在的吸引力，正如在牛頓引力理論中那樣。

這一方程由印度物理學家阿馬爾·庫馬爾·雷喬杜里（英語：Amal Kumar Raychaudhuri）^[2]和蘇聯物理學家列夫·朗道各自獨立發現。^[3]

數學表述

考慮一個類時的單位矢量場 ${\displaystyle {\vec {X}}}$（可理解為不相交的世界線的匯（英語：Congruence (general relativity)））, 雷喬杜里方程可寫為

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

式中

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2}}\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

是剪切張量

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

和渦度張量

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

的二次不變量。這裡

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

是擴張張量，${\displaystyle \theta }$是它的跡，稱為擴張標量。

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

是正交於${\displaystyle {\vec {X}}}$的超平面上的投影張量。另外，圓點表示對固有時的微分。潮汐張量（英語：Electrogravitic tensor）${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$的跡可寫為

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$ +1

這個量有時也稱為雷喬杜里標量。

參見

• 匯（英語：Congruence (general relativity)）
• 引力奇點
• 彭羅斯-霍金奇點定理