非孤立奇點

非孤立奇點是奇點的一種。P是奇點，若不存在任何一個包含P的開鄰域（又稱開集）U，使得U中不包含異於P的奇點（即P的任意有孔鄰域中都包含奇點），則稱P為非孤立奇點。

非孤立奇點分為兩種：

• 聚點：孤立奇點的極限。如果這些孤立奇點是極點，那麼儘管這些極點本身可以洛朗展開，但它們的極限，即該聚點，不能進行洛朗展開。
• 自然邊界：任何非孤立點集（如：一條曲線），使得函數不能在它周圍解析連續。（如果在黎曼球面上，則函數不能在它外面解析連續。）

例子

• 函數${\displaystyle \tan \left(1/z\right)}$在${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$上是亞純函數，只在${\displaystyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$處有單極點，其中${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$。但因為${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}\rightarrow 0}$，任意一個以原點為圓心的空心圓內，都有無限個單極點，所以${\displaystyle \tan \left(1/z\right)}$在${\displaystyle 0}$附近沒有洛朗展開。因此，${\displaystyle 0}$是函數${\displaystyle \tan \left(1/z\right)}$的非孤立奇點。

• 函數${\displaystyle \csc \left(\pi /z\right)}$在${\displaystyle 0}$處的奇點也是非孤立奇點，原因基本同上。

• 由麥克勞林級數定義的函數${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$在以原點為圓心的開單位圓內（${\displaystyle |z|<1}$）收斂。單位圓${\displaystyle |z|=1}$是它的自然邊界。

參見

• 孤立奇點

參考資料

外部連結