顏色碼 (量子計算)

此條目介紹的是量子糾錯碼「顏色碼」。關於在HTML等網頁技術中用於表示顏色的代碼，請見「顏色列表」。

顏色碼（英語：Color code）是一類備受關注的拓撲量子糾錯碼，屬於CSS碼的範疇，其構造基於特定維度和着色性質的單純復形（simplicial complex）上的幾何和代數結構。這類量子碼最早由赫克托·邦賓（Hector Bombin）和米格爾·安赫爾·馬丁-德爾加多（Miguel Angel Martin-Delgado）在2006年左右提出^[1][2]。顏色碼因其獨特的容錯特性，特別是在實現某些橫向門（transversal gates）方面的潛力，而在容錯量子計算研究中占有重要地位^[3]。

定義與構造

顏色碼的構造與特定 ${\displaystyle D}$ 維圖的幾何特性緊密相關。通常，這類碼定義在一個滿足以下兩個核心條件的 ${\displaystyle D}$ 維圖上：

1. 該圖是一個均勻的 ${\displaystyle D}$ 維單純復形，可以通過對一個 ${\displaystyle D}$ 維單純形（simplex）內部空間進行三角剖分來獲得。
2. 該圖是 ${\displaystyle (D+1)}$ 可着色的，即圖中的每個頂點可以被賦予 ${\displaystyle D+1}$ 種顏色之一，且任意兩個相鄰（通過一條邊連接）的頂點顏色均不相同。

在這樣的幾何結構上，物理量子比特通常被放置在最高維的 ${\displaystyle D}$ 維單純形上。穩定子生成元（stabilizer generators）則與圖中特定維度的單純形相關聯。例如，一種常見的構造方式是將 ${\displaystyle X}$ 型和 ${\displaystyle Z}$ 型穩定子生成元分別與0維單純形（頂點）和 ${\displaystyle (D-1)}$ 維單純形聯繫起來^[3][4][5]。滿足這些構造要求的圖可以通過一種稱為「增肥過程」（fattening procedure）的技術來獲得^[2]。

一個特別重要且易於理解的例子是二維顏色碼。這類碼可以構建在頂點配位數為3（3-valent，即每個頂點連接三條邊）且其面可用3種顏色進行着色（3-colorable faces）的二維晶格上，例如常見的蜂巢晶格（honeycomb tiling）。在這種二維構造中，物理量子比特被放置在晶格的頂點上，而每個面（face）則對應兩個穩定子生成元（一個 ${\displaystyle X}$ 型，一個 ${\displaystyle Z}$ 型）^[3]。

顏色碼的構造也可以被視為更廣義的量子pin碼（Quantum Pin Codes）的一類特殊情況^[6]。

關鍵特性

碼距與保護能力

與表面碼（surface code）類似，顏色碼的碼距（code distance）——即其抵抗錯誤的能力——並非固定值，而是取決於構建該碼所選用的具體晶格類型及其拓撲性質。更準確地說，碼距與邏輯弦算符（logical string operators）的同調群密切相關^[3]。邏輯算符的最小權重（即構成該算符的非平凡泡利算符的數目）決定了碼距，進而決定了碼能夠檢測和糾正的錯誤數量^[7]。

橫向門

顏色碼在容錯量子計算中的一個顯著優點是其天然支持某些重要的橫向邏輯門。橫向門是指可以通過在構成邏輯量子比特的各個物理量子比特上獨立（或以簡單方式）執行相應的物理門操作來實現的邏輯門，這種特性極大地簡化了容錯操作的設計並有助於抑制錯誤的傳播。特定維度 ${\displaystyle D}$ 的顏色碼能夠在 ${\displaystyle D}$ 維晶格上橫向地實現位於克利福德層級（Clifford hierarchy）第 ${\displaystyle (D-1)}$ 層的某些門。例如，某些顏色碼構造可以橫向實現一個繞Z軸旋轉角度為 ${\displaystyle -\pi /2^{D}}$ 的門（對於 ${\displaystyle D\geq 1}$，當 ${\displaystyle D=1}$ 時對應 ${\displaystyle S}$ 門的轉角，${\displaystyle D=2}$ 時對應 ${\displaystyle T}$ 門的轉角）^[4]（參見文獻圖3）。這對於實現通用的容錯量子計算至關重要，因為如 ${\displaystyle T}$ 門等非克利福德門是超越經典計算能力的關鍵^[8]。

解碼與錯誤特性

顏色碼的解碼（即根據測量到的錯誤症狀推斷最可能發生的錯誤並進行糾正的過程）也具有其獨特性。與表面碼相比，顏色碼在某些解碼策略下可能會受到一種稱為「鈎狀錯誤」（hook errors）的特定錯誤類型的影響^[9]。這類錯誤因其在錯誤鏈的幾何形狀上可能呈現鈎狀，並且可能在不被標準症狀檢測程序完全識別的情況下導致邏輯錯誤，從而使得解碼更為複雜。因此，為了實現容錯解碼，顏色碼的解碼器往往需要利用額外的「標記量子比特」（flag qubits）來輔助檢測這類棘手的錯誤事件^[10]。

容錯性

顏色碼在更高維度下展現出優異的容錯特性。例如，理論研究表明，六維（6D）顏色碼可以作為一種自校正量子存儲器（self-correcting quantum memory），即在一定的噪聲閾值和溫度條件下，它能夠被動地抵抗熱噪聲而無需主動糾錯循環^[11]。進一步地，在七維（7D）構造下，顏色碼被證明可以容錯地實現一套通用的量子邏輯門集^[11]。

與其他量子碼的關係

顏色碼在量子糾錯碼的譜系中與其他幾類重要的拓撲碼存在深刻的聯繫。

作為其父類碼，顏色碼可以被視為量子pin碼的一類特例^[6]（參見文獻第二部分的E節）。

更有趣的是顏色碼與高維表面碼（或稱環面碼）之間的「表親」關係。研究表明，在一個 ${\displaystyle D}$ 維閉合流形上定義的顏色碼，可以通過一個局部的、常數深度（constant-depth）的克利福德電路，等效地轉換為多個解耦合的 ${\displaystyle D}$ 維表面碼的副本^[12][13][14]。這一過程有時可以從規範場論的角度被理解為對顏色碼中某些特定對稱性進行「解規範」（ungauging）的操作^[15][16]。此外，研究者也開發了幾種結合顏色碼和表面碼特性的混合型量子糾錯碼方案^[17][18]。

參見

• 量子糾錯
• 量子計算
• 容錯量子計算
• 表面碼