高斯-盧卡斯定理

高斯-盧卡斯定理，又稱盧卡斯定理，該定理描述了複係數多項式的一個性質：多項式導數的根一定在原多項式的根所構成的凸包內。

這一結論曾在1836年被高斯直接使用，1874年由菲利克斯·盧卡斯（英語：Félix Lucas）證明^[1]。

動機

二次多項式${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ 的導數${\displaystyle P'}$的根為原多項式${\displaystyle P}$的兩個根的平均數。

同樣地，如果一個 ${\displaystyle n}$次多項式有 ${\displaystyle n}$ 個兩兩不同的實值零點${\displaystyle x_{1}<x_{2}<...<x_{n}}$，根據羅爾定理，其導數的每個零點都位於區間 ${\displaystyle [x_{1},x_{n}]}$之中。

高斯-盧卡斯定理可以看成這一性質在復係數多項式上的推廣。

表述

設 ${\displaystyle P}$ 是一個非常數的複係數多項式，那麼${\displaystyle P'}$的所有根都屬於由${\displaystyle P}$的根構成的凸包。

證明

將多項式函數P寫成複數下的不可約形式：${\displaystyle P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}}$ ，其中複數${\displaystyle c}$ 是多項式的主係數、${\displaystyle a_{i}}$ 是多項式的根、${\displaystyle n_{i}}$ 為各個根的重數。

首先注意到：

${\displaystyle {\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}}$

假設複數${\displaystyle z}$滿足：

${\displaystyle P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{且}}\quad P(z)\neq 0,}$

因此：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad }$

乘以共軛取模

${\displaystyle \quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,}$

寫成如下形式：

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.}$

此時，可以將${\displaystyle z}$看成是${\displaystyle n}$個位於 ${\displaystyle a_{i}}$的質點的重心，因此在其構成的凸包內。

另一種${\displaystyle P(z)=0}$情況下的證明是顯然的。