CIE 1931色彩空間

CIE 1931 XYZ色彩空間（CIE 1931色彩空間）在顏色感知的研究中最先採用數學方式來定義，它由國際照明委員會（CIE）於1931年創立。

1920年代後期，英國的William David Wright（英語：William David Wright）（Wright 1928）和John Guild（英語：John Guild）（Guild 1931）做的一系列實驗中得出本空間。他們的實驗結果合併到了CIE RGB色彩空間的規定中，本空間再從它得出。為了說明本空間下面會涉及RGB。

Datacolor用XY軸分四個象限，X軸兩端為紅綠，Y軸為黃藍。https://www.datacolor.com/^[1]

三色刺激值

人類眼睛有對於短（S, 420-440nm）、中（M, 530-540nm）和長（L, 560-580nm）波長的光感受器視錐細胞^{[註 1]}。因此，根據三種視錐細胞的刺激比例，便能描述任一種顏色的感覺，此稱為LMS空間（英語：LMS color space）(long, medium, short)。

色彩空間敘述可見光在人眼上的感覺，通常需要三色刺激值。更精確地說，首先先定義三種原色（primary color），再利用顏色疊加模型，即可敘述各種顏色。

三原色可以是不可能的顏色，例如，本空間的X、Y、Z。

在三色加色法模型中，如果某一種顏色和另一種混合了不同分量^{[註 2]}的三種原色的顏色，均使人類看上去是相同的話，我們把這三種原色的份量稱作該顏色的三色刺激值。

色彩空間是指任何一種替每個顏色關聯到三個數（三色刺激值）的方法，本空間就是這種色彩空間之一。並且，本空間基於人類顏色視覺的直接測定，並充當很多其他色彩空間的定義基礎。

X、Y和Z的值，約略^{[註 3]}對應於紅色、綠色和藍色（它們是從紅色、綠色和藍色導出來的參數^{[來源請求]}），並使用顏色匹配函數來計算，見下。

同色異譜（英語：Metamerism (color)）可以用來量化分析一種顏色的光怎麼對應到單色光：兩個由多種不同波長的光混合而成的光源可以表現出同樣的顏色。這也意味着兩組XYZ相同。

CIE xy色度圖

色度圖。外側曲線邊界是光譜（單色光）軌跡，波長的單位是納米。本圖效果依賴於您的顯示器^{[來源請求]}，沒有設備能有足夠大色域來在所有位置上提供精確的色度表現。它的外側是人類眼睛如何體驗給定頻譜的光的工具^{[註 4]}

CIE Yxy(CIE xy, CIE xyY)是本空間的常見應用形式。

因為人類眼睛有響應不同波長範圍的三種類型的顏色傳感器，所有可視顏色的完整繪圖是三維的^{[來源請求]}。

顏色的概念

顏色的概念可以分為兩部分：明度和色度。^{[註 5]}

Yxy故意設計得Y參數是顏色的亮度的測量。亮度線性，兩束不同顏色的光融合後，亮度為簡單相加，這是要顯示人眼的生理特點。亮度或許可以表示明度。^{[來源請求]}

形如Y=1時，可能表示相對光亮度：借用工程概念理解，能產生白光的設備在產生特定光時的亮度。因此，雖然光度函數給出單色光555nm的草坪綠在同等功率最亮，白色的Y仍然最大，注意二者沒有直接關係。能產生白光的設備在產生白光時是全力運轉的，可參見白色是RGB(255,255,255)，而其它顏色數值上小於白色。

導出

本空間可以構造色度。色度(x,y)：

${\displaystyle x={\frac {X}{X+Y+Z}}}$

${\displaystyle y={\frac {Y}{X+Y+Z}}}$

顯然，

${\displaystyle z={\frac {Z}{X+Y+Z}}=1-x-y}$

導出的色彩空間用x, y, Y來指定，它在實踐中廣泛用於指定顏色。

• xyY的Y作為某一(x,y)坐標的相對光亮度時，xyY是三維的。
• Y作為整個圖片的統一亮度時，xy(Y=特定值)是二維的：應用中可以通過切片XYZ空間中的Y在xy的曲線內側塗上不同的顏色。因為可以塗上不同的顏色，顯示出本空間可以構造色度，可以展示選定亮度下所有的色度。展示出的顏色看起來都一樣亮，具體亮度取決於顯示器支持的最大亮度，相對於選定亮度。xy的曲線，本身表示單色光，亮度不限，因此，每個切片都有這條曲線。
  • 不妨令xyz為XYZ中的一個平面XYZ(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)來理解從XYZ中得到xy(Y)^[2]

對於Y，在本空間XYZ(xy, xyY, Yxy)中，大致上白色、黃色亮度最高。因為黃色和藍色互補，而藍色的亮度較低且為原色^{[註 6]}。

輔助公式：

${\displaystyle X={\frac {Y}{y}}x}$

${\displaystyle Z={\frac {Y}{y}}(1-x-y)}$

數學上，x和y是投影坐標，色度圖的顏色占據了實投影平面的一個區域。^{[來源請求]}

色度圖展示了本空間一些有趣性質：

• 色度圖展示了對一般人類視覺的色域，每個切面都是相同的亮度的所有色度。色域是用顏色展示的馬蹄鐵形狀。色域的曲線邊界叫做「光譜軌跡」並對應於單色光，色度均為通俗說的完全飽和。色域底下的直線邊界叫做「紫線」，「紫線」沒有匹配的單色光。更低色度（更少飽和）的顏色位於圖形內部而白色位於中央。

• 所有可見色度的xyz、XYZ非負

• 如果你在色度圖上選擇了任何兩點，則位於這兩點之間直線上任何顏色都可以用這兩個顏色混合出來。這得出了色域的形狀必定是凸形的。混合三個光源形成的所有顏色都可以在色度圖內的色三角（英語：Color triangle）內找到（對於多個光源也如是）。

• 在xy色度圖上距離不對應於兩種顏色之間的差別程度。設計了其他色彩空間（CIELUV（英語：CIELUV）和CIELab等）來滿足這個問題。

• 給定三個真實光源的色三角不能覆蓋人類視覺的色域，因為那條曲線不是三角形。

• 平直能量頻譜的光對應於白點 (x,y) = (1/3,1/3)。

CIE XYZ色彩空間定義

實驗結果— CIE RGB色彩空間

CIE RGB色彩空間是重要的RGB色彩空間，運用單色原色光，即原色都在色度圖曲線邊界。

在1920年代，W. David Wright（Wright 1928）和John Guild（Guild 1931）獨立進行了一系列人類視覺實驗，提供了CIE XYZ色彩空間規定的基礎，包括CIE RGB。

CIE RGB原色的色域和原色在CIE 1931 xy色度圖上的位置。

實驗使用2度視角的圓形屏幕。屏幕的一半投影測試顏色，另一半投影觀察者可調整的顏色。可調整的顏色是三種原色的混合，它們每個都有固定的色度，但有可調整的明度。^{[來源請求]}兩人選的原色有細微不同。

觀察者改變三種原色光的強度（明度）直到觀察到混合的顏色匹配了測試顏色。^{[註 7]}通過這種方式，可以覆蓋完整的人類顏色感知。當測試單色光，假設紅、綠、藍總量各一份分散在每個波長（有負值），它們最終能混合為當時實驗室里的白光^[3]，每種原色的數量繪製成為這個單色光的波長的函數。這三個函數叫做這個特定實驗的「顏色匹配函數」。^{[來源請求][註 8]}

標準化原色

建立客觀顏色表示法的國際系統——

CIE 1931 RGB顏色匹配函數。顏色匹配函數是匹配水平刻度標示的波長的單色測試顏色所需要的原色數量。

Wright和Guild的實驗使用了不同的觀察者，所有他們的結果都被映射為標準CIE RGB ${\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$, ${\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$和${\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$：對應700 nm（紅色）、546.1 nm（綠色）和435.8 nm（藍色）。

顏色匹配函數是匹配單色測驗顏色所需要的原色的數量。這些函數展示於右側的（CIE 1931）繪圖中。注意${\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$和${\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$在435.8nm處為零，${\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$和${\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$在546.1nm處為零，而${\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$和${\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$在700 nm處為零，因為在這些情況下測試顏色是原色之一。選擇波長546.1 nm和435.8 nm的原色是因為它們是容易再生的水銀蒸氣放電的色線。1931年選擇的700 nm波長難於再生為單色光束，選擇它是因為眼睛的顏色感知在這個波長相當不變化，所以在這個原色波長上的小誤差將對結果有很小的影響。其實這三個波長的選擇都是思想實驗與擬合。

經過CIE的特別委員會確定了顏色匹配函數和原色（Fairman 1997）。^{[註 9]}定義的這些顏色匹配函數叫做「1931 CIE標準觀察者」。

經過映射，顏色匹配函數經過曲線常規標準化為有固定的面積：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda }$

結果的規範化顏色匹配函數經常對源照度按r:g:b比率1:4.5907:0.0601縮放^[3]、和為源輻射功率按比率72.0962:1.3791:1縮放來重新生成真正的^{[本頁面對「顏色匹配函數」相關名稱區分得不是很細，此處不得不使用「真正的」進一步區分需要解釋]}顏色匹配函數：每1:4.5907:0.0601的亮度的紅綠藍光同時被人類眼睛看到，等價的，每72.0962:1.3791:1的功率的紅綠藍光同時被人類眼睛看到，即看到平直能量頻譜的光。

給定這些縮放的顏色匹配函數，引入頻譜功率分布${\displaystyle I(\lambda )}$：

${\displaystyle R=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda }$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda }$

${\displaystyle B=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda }$

這些可以被認為是無限維頻譜到三維顏色的投影。當${\displaystyle I(\lambda )=1}$且R=G=B，可退化為前式。

格拉斯曼定律

人類色彩感知的（幾乎）線性。

CIE RGB空間可以被用來以常規方式定義色度：色度坐標是r和g:

${\displaystyle r={\frac {R}{R+G+B}},}$

${\displaystyle g={\frac {G}{R+G+B}}.}$

從Wright–Guild數據構造CIE XYZ色彩空間

本空間是與CIE RGB色彩空間有關的一個色彩空間。它假定格拉斯曼定律定律成立，因此引用CIE RGB空間。假設紅、綠、藍各一份混合為平直能量頻譜的光，而不是當時實驗室里的白光。

以三個新顏色匹配函數來定義：${\displaystyle {\overline {x}}(\lambda )}$、${\displaystyle {\overline {y}}(\lambda )}$和${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$。帶有頻譜功率分布I(λ)的顏色的對應的XYZ 三色刺激值為給出為：

${\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {x}}(\lambda )\,d\lambda }$

${\displaystyle Y=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda }$

${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {z}}(\lambda )\,d\lambda }$

在CIE rg色度圖中展示規定CIE XYZ色彩空間的三角形構造。三角形C_b-C_g-C_r就是在CIE xy色度空間中的xy=(0,0),(0,1),(1,0)三角形。連接C_b和C_r的直線是alychne。注意光譜軌跡通過rg=(0,0)於435.8 nm，通過rg=(0,1)於546.1 nm，通過rg=(1,0)於700 nm。還有，均等能量點（E）位於rg=xy=(1/3,1/3)。

它有如下性質：

1. 新顏色匹配函數在所有地方都大於等於零。^{[註 10]}
2. ${\displaystyle {\overline {y}}(\lambda )}$顏色匹配函數精確的等於「CIE標準適應光觀察者」（CIE 1926）的光度函數V(λ）。它是描述感知明度對波長的變換的亮度函數。亮度函數可以構造為RGB顏色匹配函數的線性組合的事實是沒有任何方式來保證的，但是被認為幾乎是真實的，因為人類視覺的幾乎線性本質。還有，這個要求的主要原因是計算簡單。
3. 對於平直能量頻譜的光，要求為x = y = z = 1/3。
4. 由於色度定義和要求x和y為正值的優勢，可以在xy三角形[1,0]，[0,0]，[0,1]內見到XYZ能夠組成的色域。在實踐中必須把色域完全的充入這個空間中。
5. ${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$可以在650 nm處被設置為零而仍保持在實驗誤差範圍內。為了計算簡單規定可以這樣做。

用幾何術語說，選擇新色彩空間等於在rg色度空間中選擇一個新三角形。在右側的圖形中，rg色度坐標展示在兩個黑色軸上，還有1931標準觀察者的色域。展示為上述要求所確定的是紅色CIE xy色度軸。要求XYZ坐標非負意味着C_r, C_g, C_b形成的三角形必須包圍標準觀察者的整個色域。連接C_r和C_b的直線由${\displaystyle {\overline {y}}(\lambda )}$函數等於亮度函數的要求來確定，它叫做alychne。${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$函數在650 nm處為零的要求意味着連接C_g和C_r的直線必須是K_r區域內的色域的切線。這定義了點C_r的位置。均等能量點定義自x = y = 1/3的要求對連接C_b和C_g的直線做了限制，最後，色域充入空間的要求對此線作了第二個限制，它要非常靠近在綠色區域的色域，這規定了C_g和C_b的位置。上面描述的變換是從CIE RGB空間到XYZ空間的線性變換。CIE特殊委員會確定了標準變換如下：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\frac {1}{b_{21}}}{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}={\frac {1}{0.17697}}{\begin{bmatrix}0.49&0.31&0.20\\0.17697&0.81240&0.01063\\0.00&0.01&0.99\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}}$

在380 nm到780 nm之間的（間隔5 nm）CIE 1931標準色度觀察者XYZ函數

要求3確定了XYZ顏色匹配函數的積分必須相等，可通過要求2確定的適應光發光效率函數的積分得到它。必須注意到制表的敏感度曲線有一定量的任意性在其中。單獨的X、Y和Z敏感度曲線可以按合理的精度測量。但是整體的光度曲線^[哪裡？]（它事實上是這個三個曲線的加權和）是主觀的，因為它涉及到問測試人兩個光源是否有同樣的明度，即使它們是完全不同的顏色。雖然X、Y和Z的曲線的相對大小（magnitude）任意，但是本空間CIE 1931和1964 曲線被縮放為有相同的曲線下面積。

問題和解決

• 1924發光效率函數V（λ，CIE 1926）嚴重的低估了在460 nm波長下的敏感度。Judd（1951）和Vos（1978）提議了一個修改版本的發光效率函數，這也給出了一組新的XYZ顏色匹配函數。參見Stiles與Burch（1955）。

• CIE 1964標準觀察者顏色匹配函數是為10度視角定義的。它們是從Stiles與Burch（1959），和Speranskaya（1959）的工作得出的。1931標準觀察者視角是2度。對於10度實驗，指導觀察者忽略中心2度斑點。推薦對多於4度視角使用1964增補標準觀察者。

• CIE 1931色彩空間的一個問題是它沒有給出估量顏色差別的直接方式。希望在色度圖上距離能對應於在兩個顏色之間的差別程度。測量兩個顏色之間的差別的想法是D.L. MacAdam開發的並總結於MacAdam橢圓的概念中。基於MacAdam的工作，在1960年開發了CIE L*u*v*色彩空間，它後來被CIE L*a*b*色彩空間所替代，二者都設計為在顏色空間中相等的距離對應於相等的MacAdam所測量的顏色差別。儘管它們比CIE 1931系統有明顯的改進，它們沒有完全免除扭曲。