恩格爾展開式

Engel展開式是一個正整數數列${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},...\}}$，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和：

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+...\;}$

有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展開式得名於 F. Engel，他在 1913 年研究了它們。

Engel展開與連分數

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 發現 Engel 展開可以被看作是連分數的上升變體。

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}$

算法

${\displaystyle u_{1}=x}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil }$

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$表示最小的整數大於或等於${\displaystyle r}$。

若${\displaystyle u_{i}=0}$，則停止。

例子

k	uk	ak	uk+1
1	3/7	3	2/7
2	2/7	4	1/7
3	1/7	7	0

${\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{3\times 4\times 7}}}$

${\displaystyle \{3,4,7\}\;}$

參考

• Engel, F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 1913.

• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143: 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3.

外部連結

• Engel展開式的例子