盧曼-緬紹夫定理

盧曼-緬紹夫定理（英語：Looman–Menchoff theorem）是複分析中的一條定理，可用於判斷複函數的解析性。該定理指出，定義在複平面上某個區域內的連續函數是解析函數，當且僅當其視作${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$的映射時，四個偏導數處處存在且滿足柯西-黎曼方程。該定理由盧曼於1923年提出，於1931年由緬紹夫給出完整證明。雖然定理涉及初等數學領域，但其證明需運用現代實變函數理論。^[1][2]

背景

定義在複平面內的區域上的復解析函數${\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}$在整個定義域內滿足柯西-黎曼方程：^[1][2]

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

上述命題的部分逆命題亦成立，例如：額外假定${\displaystyle f}$作為實函數在區域內處處可微，或是假定${\displaystyle f}$的偏導數處處連續，同時滿足柯西-黎曼方程，均可推出${\displaystyle f}$是區域內的解析函數；其中前一個命題由愛徳華·古爾薩（英語：Édouard Goursat）在1900年證明，又被稱為古爾薩定理。^[3]實際上，這些附加條件存在放寬的餘地。^[1]20世紀初，人們對放寬函數解析性的判定條件這一問題開展了大量的研究。1905年，迪米特里耶·蓬佩尤（英語：Dimitrie Pompeiu）指出，古爾薩定理的附加條件可以放寬到「函數在區域內幾乎處處可微」。之後，盧曼和迪米特里·緬紹夫（英語：Dmitrii Menshov）在這一領域做出了重要的貢獻。^[2][3]

盧曼注意到，僅僅假定偏導數在區域內處處存在，且滿足柯西-黎曼方程，並不足以保證函數在區域上的解析性——甚至不能保證函數在其上的連續性：如下定義的複變函數，在複平面上處處可求偏導，且偏導數滿足柯西-黎曼方程，但它在原點處並不解析：^[1]

${\displaystyle f(z)=\left\{{\begin{aligned}\exp(-z^{-4}),&&{z\neq 0}\\0,&&{z=0}\end{aligned}}\right.}$

1923年，盧曼斷言只要附加函數在區域上連續的條件，就可以推出函數的解析性，從而強化了古爾薩定理。然而，盧曼當時的證明中存在一個漏洞。緬紹夫於1931年發表的證明則彌補了這一漏洞，他的證明用到了勒貝格積分和貝爾綱定理。1933年，數學家斯坦尼斯拉夫·薩克斯（英語：Stanislaw Saks）回顧了這一證明，並將其命名為「盧曼-緬紹夫定理」。^[3][4]薩克斯對該證明評價甚高：「毫無疑問，它是現代實變函數理論在初等數學領域最優美和令人意外的應用之一」。^[1]

定理的陳述和證明

設${\displaystyle D}$為複平面${\displaystyle \mathbb {C} }$上的開集，${\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}$為定義在${\displaystyle D}$上的連續複變函數。若偏導數${\displaystyle \partial u \over \partial x}$、${\displaystyle \partial v \over \partial y}$、${\displaystyle \partial u \over \partial y}$、${\displaystyle \partial v \over \partial x}$在${\displaystyle D}$上處處存在且處處滿足柯西-黎曼方程，則${\displaystyle f}$為${\displaystyle D}$上的解析函數。

引理

為證明盧曼-緬紹夫定理，需要先證明如下引理：^[1][4][5]

設${\displaystyle R}$為${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的正方形，${\displaystyle f}$為${\displaystyle R}$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的映射，且在${\displaystyle R}$內處處可求偏導。若存在${\displaystyle R}$的某個非空閉集${\displaystyle E}$和正數${\displaystyle N}$，使得：

${\displaystyle \forall (x,y)\in E,(w,y)\in R,(x,v)\in R:\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant N\left|y-v\right|,\left|f(x,y)-f(w,v)\right|\leqslant N\left|x-w\right|}$

記${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$為包含${\displaystyle E}$的最小矩形，則有：

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(f(x,d)-f(x,c))dx-\int _{E}{\partial f \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}$

${\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(f(b,y)-f(a,y))dy-\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}$

其中${\displaystyle m(A)}$代表集合${\displaystyle A}$的測度。為證明該引理，可以先考慮一維的情形。這時，${\displaystyle R}$為實軸上的區間${\displaystyle [a,b]}$，而${\displaystyle E}$為其內一個閉集。可以在${\displaystyle R}$上定義一個輔助函數，它在${\displaystyle E}$內取${\displaystyle f}$，在${\displaystyle I-R}$內取分段線性函數，並保持邊界處連續。可以證明，該輔助函數在整個${\displaystyle R}$上利普希茨連續，因此絕對連續，幾乎處處可導，且導函數可積。而${\displaystyle E}$的孤立點集至多可數，在${\displaystyle E}$非孤立點集上，輔助函數和${\displaystyle f}$的導數又幾乎處處相等。故而：

${\displaystyle \left|f(b)-f(a)-\int _{E}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant Nm(R-E)}$

回到引理，由於${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$是包含閉集${\displaystyle E}$的最小矩形，在區間${\displaystyle [c,d]}$上必然存在點${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$，使得${\displaystyle (a,\alpha ),(b,\beta )\in E}$。對${\displaystyle [c,d]}$上的任何一點${\displaystyle \chi }$，都有：

${\displaystyle |f(a,\chi )-f(b,\chi )|\leqslant |f(a,\chi )-f(a,\alpha )|+|f(a,\alpha )-f(b,\alpha )|+|f(b,\alpha )-f(b,\beta )|+|f(b,\beta )-f(b,\chi )|\leqslant 4NL}$

其中${\displaystyle L}$為${\displaystyle R}$的邊長。記${\displaystyle E}$中所有點縱坐標的集合為${\displaystyle A}$，${\displaystyle A}$在${\displaystyle [c,d]}$中的補集為${\displaystyle B}$。則${\displaystyle f(a,\chi )-f(b,\chi )}$在${\displaystyle B}$上的積分滿足：

${\displaystyle |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |\leqslant \int _{B}4NLd\chi \leqslant 4Nm(R-E)}$

另一方面，${\displaystyle \forall \chi \in A}$，可以證明${\displaystyle E_{\chi }=\{(\phi ,\chi )|(\phi ,\chi )\in E\}}$是閉集。因此，對連接${\displaystyle (a,\chi )}$和${\displaystyle (b,\chi )}$的線段使用上述一維情形的結論，可知：

${\displaystyle \left|f(b,\chi )-f(a,\chi )-\int _{E_{\chi }}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant N(b-a-m(E_{\chi }))}$

將上式在${\displaystyle A}$上積分，並將重積分化作累次積分，可得：

${\displaystyle |\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant Nm(R-E)}$

注意到下式即可證明引理：

${\displaystyle |\int _{E}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |+|\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant 5Nm(R-E)}$

證明概要

記${\displaystyle E}$為${\displaystyle D}$中${\displaystyle f}$不解析的點的集合。利用反證法：假設${\displaystyle E}$非空，只需證明存在${\displaystyle E}$的一個子集，使得${\displaystyle f}$在其上解析，即可推出矛盾，進而說明原命題成立。

利用解析性和圍道積分的關係可以證明${\displaystyle E}$是一個閉集。定義${\displaystyle E_{n}}$為${\displaystyle D}$的具備如下性質的子集：

${\displaystyle E_{n}=\{z|z\in D,\left|f(z+h)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\left|f(z+ih)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\forall h\in \mathbb {R} ,D(z,h)\subset D,\left|h\right|\leqslant 1/n\}}$

由${\displaystyle f}$的連續性和處處可求偏導的性質分別可以推出${\displaystyle E_{n}}$是閉集，且${\displaystyle E\subset D\subseteq \cup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$。因此，由貝爾綱定理，必然至少存在一個${\displaystyle E_{k}}$和${\displaystyle D}$中開集${\displaystyle K}$，使得${\displaystyle \emptyset \neq E\cap K\subseteq E_{k}}$。

設${\displaystyle Q}$是${\displaystyle K}$中任意一個邊長小於${\displaystyle 1/k}$，且交${\displaystyle E}$非空的正方形。可證${\displaystyle u(x+iy)}$、${\displaystyle v(x+iy)}$作為${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$的映射，均滿足引理要求的一切條件。因此，在包含${\displaystyle E\cap Q}$的最小矩形${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$上：

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}$

${\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}$

注意到${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$滿足柯西-黎曼方程，可以得到對${\displaystyle f}$在${\displaystyle R}$邊界上積分的虛部估計式：

${\displaystyle \left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|\leqslant \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|+\left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 10km(Q-{E\cap Q})}$

顯然該積分的實部也滿足類似的估計式。因此：

${\displaystyle \left|\oint _{\partial R}fdl\right|={\sqrt {\left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}+\left|Re\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}}}\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}$

依定義，${\displaystyle f}$在${\displaystyle Q-R}$內解析，因此可將上式中的積分圍道由${\displaystyle R}$的邊界擴大為${\displaystyle Q}$的邊界：

${\displaystyle \left|\oint _{\partial Q}fdl\right|\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}$

記${\displaystyle Q_{n}\subset K}$是任意一串收斂到${\displaystyle z\in K}$的正方形序列。若${\displaystyle z\in E}$，當${\displaystyle n}$充分大時，所有${\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}$的邊長都小於${\displaystyle 1/k}$，因此：

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k<+\infty }$

${\displaystyle 0\leqslant \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {m(Q_{n}\cap E)}{m(Q_{n})}})}$

由勒貝格密度定理（英語：Lebesgue's density theorem），第二式右側的極限作為${\displaystyle z}$的函數幾乎處處為1，因此左側的下極限幾乎處處為零。

若${\displaystyle z\in K-K\cap E}$，當${\displaystyle n}$充分大時，${\displaystyle f}$在所有${\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}$內解析，因此：

${\displaystyle 0=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}<+\infty }$

將圍道積分視為集合函數，上述極限以及圍道積分的連續性和可加性保證了圍道積分幾乎處處可導，且圍道積分的值由導函數在集合上的積分給出。又因上述下極限在${\displaystyle K}$上幾乎處處為零，該導數在${\displaystyle K}$上也幾乎處處為零。這意味着${\displaystyle f}$在${\displaystyle K}$內的圍道積分恆為零，即${\displaystyle f}$在${\displaystyle K}$乃至${\displaystyle E}$的子集${\displaystyle E\cap K}$內解析。矛盾。^[1][4][5][6]