Proca 作用量

在物理學中 ，特別是在場論和粒子物理學中，Proca作用量描述了Minkowski時空中質量為m且有質量、自旋 均為1 的量子場論。相應的方程是一個稱為Proca方程的相對論性波動方程 。 ^[1] Proca作用量和方程以羅馬尼亞物理學家Alexandru Proca（英語：Alexandru Proca）命名。

在標準模型中Proca方程用來描述三個 矢量玻色子（英語：Vector boson），即W^±，Z⁰玻色子。

本文使用的是 四維矢量語言裡的(+---) 指標記號 和 張量索引符號 。

拉格朗日密度

該場中包含一個複合的電磁四矢勢 ${\displaystyle B^{\mu }=({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} )}$， ${\displaystyle \phi }$ 是一類廣義電勢，${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是一個廣義 磁矢勢，在該場中${\displaystyle B^{\mu }}$變換與一個復四矢量相同。

用 拉格朗日密度 給出：^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

其中 ${\displaystyle c}$ 是 光速， ${\displaystyle \hbar }$是 普朗克常數 以及 ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ 是 四維梯度.

方程式

這樣的歐拉-拉格朗日方程 又被稱為 Proca方程：

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

如果應用廣義洛倫茨規範

${\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}$

則上式又可以寫為^[3]

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

當 ${\displaystyle m=0}$, 這個方程可以退化到無電流無電荷的 麥克斯韋方程組。Proca方程與克萊因-戈爾登方程密切相關，因為它們都是關於空間和時間的二階偏微分方程的。

用矢量分析的符號給出，該公式是：

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}$

${\displaystyle \Box }$ 即是 達朗貝爾算符

規定

Proca作用量可以通過在Stuecklberg作用量中引入 希格斯機制 後通過規範變換得到。可以使用第二類約束條件得到量子化的Proca作用量。

電磁場的Proca作用量在${\displaystyle m\neq 0}$時不具有規範不變性

${\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

這裡的 ${\displaystyle f}$ 是一個任意函數。

參見

• 麥克斯韋方程組
• 光子
• 矢量玻色子
• 電磁場
• 量子電動力學
• 量子引力