Q階乘冪

q階乘冪是階乘冪的Q-模擬^[1]。與階乘冪在廣義超幾何函數中的作用類似，q階乘冪也是定義基本超幾何函數的基礎。

定義

n為正整數時

當n為正整數時,q階乘冪定義為

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$

n為0時

當n為0時,q階乘冪定義為

${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$

n為無窮大時

與一般的階乘冪不同的是，q階乘冪可以擴展成一個無窮乘積

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),}$

這時它是一個關於q在單位圓盤內的解析函數，也可以考慮為一個關於q的形式冪級數。其中一個特殊情況

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

被稱為歐拉函數。

n為負數時

有限q階乘冪可以用無窮q階乘冪表示

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

這樣就能把q階乘冪擴展到n為負整數的情況：對於非負整數n，有

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

以及

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

多變量的寫法

因為很多關於q階乘冪的等式都含有多個q階乘冪相乘，因此在標準寫法中用一個含有多個變量的q階乘冪來表示這個乘積：

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

圖集

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  ::${\displaystyle (a;b)_{2}}$
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  ::${\displaystyle (a;b)_{3}}$
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  ::${\displaystyle (a;b)_{4}}$
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  ::${\displaystyle (a;b)_{5}}$