作用量-角度坐標
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在經典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式(哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照着角度,捲繞於環面。
在量子力學早期,波動力學發展成功之前,玻爾-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。
在哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。
作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。