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出入相補(又稱以盈補虛)積是古中國數學中一條用於推證幾何圖形的面積或體積的基本原理。其內容有四;
出入相補原理最早由三國時代魏國數學家劉徽創建。「勾股各自乘,並,而開方之,即弦。勾自乘為朱方,股自乘為青方,另出入相補,各從其類,因就其餘不移動也,合成弦方之冪,開方除之,即弦也。」[1]
圭田指等腰三角形田。《九章算術》給出求圭田面積的公式:
圭田面積=半廣以乘正縱。半廣=等腰三角形底長之半,正縱指等腰三角形的高。
劉徽從出入相補予以證明:
劉徽注曰:半廣者以盈補虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱,以取中平之數。故廣縱相乘為積步。
如圖ABC 為等腰三角形田,BC 為等腰三角形底寬(廣),DC 為 半廣 = ,AD 為等腰三角形的高(正縱)。
以盈補虛為直田:將三角形ABC按中線等分為兩個相等的三角形ABD,ADC。將實三角形ABD 經平移和1800 轉動,填補虛三角形ADC,成為一個長方形AECD。三角形ABC的面積=長方形AECD的面積=DC(半廣) x AD(正縱)。 圭田面積=半廣以乘正縱=DC x AD。
第二法:從三角形ABC底線作長方形BCFE,其高度BE= 三角形高度AD/2。從三角形頂點A作垂直平分線AD,與長方形頂線EF相交於M點。將盈三角形AML移動,補上虛三角形CFL,將盈三角形AMK移動,補上虛三角形BEK,即得實長方形EFCB。所以三角形ABC的面積=長方形EFCB面積=半正縱以乘廣。
如圖三角形ABC底長為L,高為H,求三角形面積。
《九章算術·方田》第27問
邪田即斜田,即一邊直角一邊斜的梯田。如圖邪田ABCD。求面積時將兩個邪田合併,成為一個長方形GBHD,從長方形正中作垂直線平分EF,將長方形等分為二。將盈三角形MCF移補虛三角形MAE,得實長方形EBFD。
由於以盈補虛,邪田ABCD面積=長方形EBFD面積=邪田正縱x(邪田上邊長度+邪田下邊長度)/2。
第二種方法:「又可半正縱若廣,以並」:在邪田正縱中點作平行線EF;將上半部ABEF與下半步EFCD合併,成為長方形。
邪田ABCD面積=長方形GFDB面積=(AB+CD)*FD=(AB+CD)*BD/2。
《九章算術方田》第29問:
箕田即正梯形田。 第一法: 將梯田ABCD就正中線截為兩個邪田EBDF和AECF,將AECFD倒轉移動到右邊,與EBDF合併成為長方形EF'E'F。梯田ABCD面積=長方形EF'E'F面積=((梯田上邊長度+梯田下邊長度)/2) X 梯田高度。
第二法:將梯田ABCD就半高處作水平線EF,將ABCD截為兩個梯形ABFE,EFDC。將上截ABFED倒轉,和EFDC合併為四邊形EE'AC,再從左邊截出三角形ECG,移動到右邊,並成長方形EE'G'G。 梯田ABCD面積=長方形EE'G'G面積=(梯形上邊長度+梯形下邊長度) * 梯形高度之半。
劉徽計算圓形內接正十二邊形面積的公式:「以六觚之一面乘半徑,因而三之,得十二觚之冪」。
如圖 BC為內接正六邊形的一邊,HC為正十二邊形的一邊,圓的半徑為AH。
利用出入相補容易證明劉徽公式。
推廣為 圓內接2N 邊形的面積 = x半徑 x N邊形一邊的長度。
劉徽還計算出半徑一尺圓形內接正96邊形面積=313.9344方寸,內接正192邊形面積=314.1024方寸
《九章算術》卷第五商功:「今有堤下廣二丈,上廣八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。問:積幾何?」
劉徽術文:「並上下廣而半之者,以盈補虛,得中平之廣,以高若深乘之,得一頭之立冪,又以袤乘之,得立實之積。」
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