司徒頓t分佈(Student's t-distribution),簡稱t 分佈,在機率論及統計學中用於根據小樣本來估計總體呈正態分佈且標準差未知的期望值。若總體標準差已知,或是樣本數足夠大時(依據中心極限定理漸進正態分佈),則應使用正態分佈來進行估計。其為對兩個樣本期望值差異進行顯著性測試的司徒頓t檢驗之基礎。
Quick Facts 參數, 值域 ...
司徒頓t 分佈
機率密度函數 |
累積分佈函數 |
參數 |
自由度 |
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值域 |
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機率密度函數 |
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累積分佈函數 |
其中:是超幾何函數 |
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期望值 |
時為,時未定義 |
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中位數 |
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眾數 |
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變異數 |
時為,否則為無窮大 |
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偏度 |
時為 |
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峰度 |
時為 |
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熵 |
- : 雙Γ函數,
- : 貝塔函數
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動差母函數 |
未定義 |
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特徵函數 |
- : 第二類修正貝塞爾函數
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Close
司徒頓t 檢驗改進了Z檢驗(Z-test),因為在小樣本中,Z檢驗以總體標準差已知為前提,Z檢驗用在小樣本會產生很大的誤差,因此必須改用司徒頓t 檢驗以求準確。但若在樣本數足夠大(普遍認為超過30個即足夠)時,可依據中心極限定理近似正態分佈,以Z檢驗來求得近似值,
在總體標準差數未知的情況下,不論樣本數量大或小皆可應用t檢驗。在待比較的數據有三組以上時,因為誤差無法被壓低,此時可以用方差分析(ANOVA)代替t檢驗。
t 分佈的推導最早由德國大地測量學家弗里德里希·羅伯特·赫爾默特於1876年提出,並由德國數學家雅各布·魯洛斯證明。[1][2]
英國人威廉·戈塞於1908年再次發現並發表了t分佈,當時他還在愛爾蘭都柏林的吉尼斯啤酒釀酒廠工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果,但允許他在不提到釀酒的前提下,以筆名發表t 分佈的發現,所以論文使用了「司徒頓」(Student)這一筆名。之後t檢定以及相關理論經由羅納德·費雪發揚光大,為了感謝戈塞的功勞,費雪將此分佈命名為司徒頓t 分佈(Student's t)。[3]