射影幾何
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在數學裏,射影幾何(英語:projective geometry)研究在射影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同,射影幾何有不同的設定、射影空間及一套基本幾何概念。直覺上,在一特定維度上,射影空間比歐氏空間擁有「更多」的點,且允許透過幾何變換將這些額外的點(稱之為無窮遠點)轉換成傳統的點,反之亦然。
射影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關,此一變換比透過變換矩陣或平移(仿射變換)表示的變換更為基礎。對幾何學家來說,第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在射影幾何內談論角,如同在歐氏幾何內談論一般,因為角並不是個在射影變換下不變的概念,如在透視圖中所清楚看到的一般。射影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究。另一個與初等幾何不同之處在於,平行線可被認為會在無窮遠點上交會,一旦此一概念被轉換成射影幾何的詞彙之後。這個概念在直觀上,正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般。有關射影幾何在二維上的基本說明,請見射影平面。
雖然這些想法很早以前便已存在,但射影幾何的發展主要還是到19世紀才開始。大量的研究使得射影幾何變成那時幾何的代表學科。當使用複數的坐標(齊次坐標)時,即為研究複射影空間(英語:Complex projective space)之理論。一些更抽象的數學(包括不變量理論、代數幾何意大利學派,以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領)都建立在射影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者,在綜合幾何(synthetic geometry)的旗幟之下。另一個從射影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。
射影幾何的領域又可細分成許多的研究領域,其中的兩個例子為射影代數幾何(研究射影簇)及射影微分幾何(研究射影變換的微分不變量)。