對數
冪運算的逆運算 / 維基百科,自由的 encyclopedia
在數學中,對數(英語:Logarithm)是冪運算的逆運算。
當時,則有
其中是對數的底(也稱為基數),而 就是(對於底數)的對數,也稱為真數。
底數的值在實數範圍內常取、 10、2等,但一定不能是1或0[註 2]
當和進一步限制為正實數的時候,對數是唯一的實數。 例如,因為
- ,
我們可以得出
- ,
用日常語言說,即「81以3為底的對數是4」。 這個意思就是說,3的4次方是81。
15世紀時,法國數學家尼古拉·丘凱(英語:Nicolas Chuquet)和德國數學家米夏埃爾·施蒂費爾(英語:Michael Stifel)在開展研究工作時產生了發展對數的思想,他們,尤其是後者,對等差數列和等比數列的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。[1]
一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒的助手,因此會經常接觸到複雜的天文計算,他也因此產生了化簡數值計算的想法。[註 3]納皮爾是一位蘇格蘭貴族,對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角計算的方法,他也產生了發展對數的想法。1614年,他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》[2]上發佈了自己的對數表,相較比爾吉早了6年。納皮爾發明的納皮爾算籌用加減法代替了乘除法,成功簡化了乘除法的運算,他的對數被後人稱為納皮爾對數,記法為Nap·logx。[1]
1624年,英國數學家亨利·布里格斯(英語:Henry Briggs (mathematician))書籍《對數算術》成功出版,書中寫有14位常用對數表。布里格斯率先採用了以10為底的常用對數,而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商在布里格斯的基礎上加以改進,他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。[1]
17世紀中葉(清朝初年),中國數學家薛鳳祚和波蘭傳教士穆尼閣合作完成了中國最早的對數著作《比例對數表》(又名《歷學會通》),對數自此傳入中國。[1][3]此書稱真數為「原數」,對數為「比例數」。而《數理精蘊》中則稱作對數比例:「對數比例乃西士若往·納白爾所作,以借數與真數對列成表,故名對數表。」中國因此普遍稱之為「對數」。
對數對科學的進步有所貢獻,特別是對天文學,使某些繁難的乘法計算轉換為加法計算。在計算器和計算機發明之前,對數長期用於測量、航海、和其他應用數學分支中。
對數符號出自拉丁文logarithmus,最早由1632年意大利數學家卡瓦列里所使用。納皮爾在表示對數時套用logarithm整個詞,並未作簡化。1624年,開普勒才把對數符號簡化為,奧特雷德在1647年也用簡化了的Log。
1893年,皮亞諾用及分別表示以為底的對數和以10為底的對數。1902年,施托爾茨(英語:Otto Stolz)等人以表示以為底的的對數。
20世紀初,形成了對數的現代標準表示,為了使用方便,自然對數的記法得到了普遍認可。
函數依賴於和二者,但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如的函數,在其中底數是固定的而只有一個參數。[註 4]
對數函數圖像和指數函數圖像關於直線對稱,互為逆函數。
對數函數的性質有:
名稱 | 公式 | 證明 |
---|---|---|
和差 | 設,
| |
基變換(換底公式) |
| |
指係(次方公式) | ||
還原 | ||
互換 |
| |
倒數 | ||
鏈式 |
- 。
但是,如果是不等於1的正實數,這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數(參見冪)。類似的,對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數,有一個對數函數和一個指數函數,它們互為反函數。
對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。所以,在發明電子計算機之前,對數對進行冗長的數值運算是很有用的,它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。
最常用做底數的是e、10和2。 在數學分析中,以為底對數很常見。另一方面,以10為底對數在十進制表示法中,手工計算很容易:[4]
所以表示正整數的位數:數字的十進制位數是嚴格大於的最小的整數。例如,下一個整數是4,即1430的位數。
以2為底的對數常用於計算機科學,因為計算機中二進制很普及。當然上面的算法也可推廣到二進制:嚴格大於的最小整數是在二進制下的位數。事實上經由簡單推導即可得知,floor(logpx)+1 得到在進制下的位數:若在進制下有位,則;而是不小於 2 的正整數導致以其為底的是增函數,故三邊取對數得,取下整正好得到。
下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫來代替,而的值根據前後文可以確定。記號也出現過。[5]「ISO表示法」(ISO 31-11(英語:ISO 31-11))一列指定了ISO推薦的表示方法。[6]