數學基礎 - Wikiwand
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數學基礎

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數學上,數學基礎一詞有時候用於數學的特定領域,例如數理邏輯公理化集合論證明論模型論,和遞歸論(可計算性理論)。但是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題:在什麼終極基礎上命題可以稱為?

目前占統治地位的數學範式是基於公理化集合論形式邏輯的。實際上,幾乎所有現在的數學定理都可以表述為集合論下的定理。在這個觀點下,所謂數學命題的真實性,不過就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。

這個形式化的方法不能解釋一些問題:為什麼我們應沿用現行的公理而不是別的,為什麼我們應沿用現行的邏輯規則而不是別的,為什麼"真"數學命題(例如,算術領域的皮亞諾公理)在物理世界中似乎是真的。這被尤金·維格納在1960年叫做「數學在自然科學中無理由的有效性」(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。

在數學實在論(有時也叫柏拉圖主義)中,獨立於人類的數學對象的世界的存在性被作為一個基本假設;這些對象的真實性由人類發現。在這種觀點下,自然定律和數學定律有類似的地位,因此"有效性"不再"無理由"。不是我們的公理,而是數學對象的真實世界構成了數學基礎。但,顯然的問題在於,我們如何接觸這個世界?

一些數學哲學的現代理論不承認這種數學基礎的存在性。有些理論傾向於專注數學實踐英語Mathematical practice,並試圖把數學家的實際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論試圖創造一個數學認知科學英語Numerical cognition,把數學在"現實世界"中的可靠性歸結為人類的認知。這些理論建議只在人類的思考中找到基礎,

參考書目

來源

外部連結

參見

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