數論(英語:Number theory)是純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質,被稱為「最純」的數學領域。

簡介

數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。[1][註 1]
——卡爾·弗里德里希·高斯

正整數按乘法性質劃分,可以分成質數合數1,質數產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想孿生質數猜想等。即,很多問題雖然形式上十分初等,事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。

整數可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

歷史

古代

數論早期也稱為算術[註 2],而算術一詞則表示「基本運算」[註 3][3],在現代數論誕生前,早期鋪墊有三大內容:

  1. 歐幾里得證明質數無窮多。
  2. 尋找質數的愛拉托散尼篩法;歐幾里得求最大公因數的輾轉相除法
  3. 公元420至589年(中國南北朝時期)的孫子定理

中世紀

在中世紀早期,除了1175年至1200年住在北非君士坦丁堡的數學家斐波那契有關等差數列的研究外,西歐在數論上沒有什麼進展。

中世紀數論主要是指15-16世紀由費馬梅森歐拉高斯勒壤得黎曼希爾伯特等人發展的數論。最早是在文藝復興的末期,對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》(Arithmetica)一書的校正及翻譯為拉丁文,早在1575年Xylander曾試圖翻譯,但不成功,後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

近代

費馬

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費馬

皮埃爾·德·費馬(1601–1665)沒有著作出版,他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上,以及書旁的空白處[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明[5],不過費馬重覆的使用數學歸納法,並引入無窮遞降法

費馬最早的興趣是在完全數相親數,因此開始研究整數因數,這也開始1636年之後的數學研究,也接觸到當時的數學社群[6]。他已在1643年研讀過巴歇英語Claude Gaspard Bachet de Méziriac版本的丟番圖著作,他的興趣開始轉向丟番圖方程平方數的和[7]

費馬在數論上的貢獻有:

  • 費馬小定理 (1640)[8],若不是質數的倍數,則
  • 互質,則無法被任何除4後同餘-1的質數整除[9],而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為.[10],這二個是在1640年證明的,在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用無窮遞降法證明的第二個問題[11],費馬和福蘭尼可英語Frenicle在其他平方形式上也有一些貢獻,不過其中有些錯誤及不嚴謹之處[12]
  • 向英國的數學家提出了求解的挑戰(1657年),但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明[13]。費馬認為他們的證明有效,但用了一個在其中未經證明的演算法,費馬自己是由無窮遞降法找到證明。
  • 發展許多找虧格0或1曲線上點的方法,作法類似丟番圖,有許多特殊的步驟,使用了切線法構建曲線,而不是用割線法[14]
  • 證明不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱(費馬最後定理)證明了對於大於2的任意整數,不存在 的非尋常的正整數解(目前已知唯一的證明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1994年完成的證明),但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到,而且他沒有向別人宣稱他已有了證明[15]

歐拉

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歐拉

歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發,讓他開始專注在費馬的一些研究上[16][17],在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後,歐拉的出現稱為「現代數論的重生」[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項[19]

  • 費馬研究的證明,包括費馬小定理(歐拉延伸到非質數的模數),以及當且僅當,這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明(第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出,費馬很快的也提出證明),和沒有非零整數解的證明,表示為費馬最後定理時成立,歐拉用類似方式證明了的情形。
  • 佩爾方程,最早誤以為是歐拉證明[20],歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係[21]
  • 二次式,繼費馬之後,歐拉繼續研究哪些質數可以表示為,其中有些顯示二次互反律的性質[22] [23][24]
  • 丟番圖方程歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程[25][26],特別的是他研讀丟番圖的著作,試圖要找到系統化的方法,但時機尚不成熟,幾何數論才剛形成而已[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和橢圓積分之間的關係[27]

分支

初等數論
意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題,最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理費馬小定理二次互反律等等。
解析數論
藉助微積分複分析的技術來研究關於整數的問題[28],主要又可以分為積性數論英語Multiplicative number theory加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題,其中質數定理狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論
引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間有相當關聯,比如類體論(class field theory)就是此間的顛峰之作。
算術代數幾何
研究有理系數多變量方程組的有理點,其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係,有名的費馬最後定理、莫德爾猜想(法爾廷斯定理)、Weil猜想英語Weil conjectures,和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何數論
主要在於透過幾何觀點研究整數(在此即格子點)的分佈情形。最著名的定理為閔可夫斯基定理
計算數論
藉助電腦的算法幫助數論的問題,例如質數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越數論
研究數的超越性,其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合數論
利用組合和概率的技巧,非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。
模形式
數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的(複)解析函數

應用

註釋

參考資料

參考書目

外部連結

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