數論

數論（英語：Number theory）是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質，被稱為「最純」的數學領域。

簡介

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。^[1]^{[註 1]}
——卡爾·弗里德里希·高斯

正整數按乘法性質劃分，可以分成質數，合數，1，質數產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等。即，很多問題雖然形式上十分初等，事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。

整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。

歷史

古代

數論早期也稱為算術^{[註 2]}，而算術一詞則表示「基本運算」^{[註 3]}^[3]，在現代數論誕生前，早期鋪墊有三大內容：

歐幾里得證明質數無窮多。
尋找質數的愛拉托散尼篩法；歐幾里得求最大公因數的輾轉相除法。
公元420至589年（中國南北朝時期）的孫子定理。

中世紀

在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的數學家斐波那契有關等差數列的研究外，西歐在數論上沒有什麼進展。

中世紀數論主要是指15-16世紀由費馬、梅森、歐拉、高斯、勒壤得、黎曼、希爾伯特等人發展的數論。最早是在文藝復興的末期，對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》（Arithmetica）一書的校正及翻譯為拉丁文，早在1575年Xylander曾試圖翻譯，但不成功，後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

近代

費馬

皮埃爾·德·費馬（1601–1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處^[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明^[5]，不過費馬重覆的使用數學歸納法，並引入無窮遞降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相親數，因此開始研究整數因數，這也開始1636年之後的數學研究，也接觸到當時的數學社群^[6]。他已在1643年研讀過巴歇（英語：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丟番圖著作，他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和^[7]。

費馬在數論上的貢獻有：

費馬小定理 (1640)^[8]，若 $a$ 不是質數 $p$ 的倍數，則 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
若 $a$ 和 $b$ 互質，則 $a^{2}+b^{2}$ 無法被任何除4後同餘-1的質數整除^[9]，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為 $a^{2}+b^{2}$ .^[10]，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用無窮遞降法證明的第二個問題^[11]，費馬和福蘭尼可（英語：Frenicle）在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處^[12]。
向英國的數學家提出了求解 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明^[13]。費馬認為他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由無窮遞降法找到證明。
發展許多找虧格0或1曲線上點的方法，作法類似丟番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法^[14]。
證明 $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數 $n$ ，不存在 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 的非尋常的正整數解（目前已知唯一的證明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1994年完成的證明），但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明^[15]。

歐拉

歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些研究上^[16]^[17]，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱為「現代數論的重生」^[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項^[19]：

費馬研究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及 $p=x^{2}+y^{2}$ 當且僅當 $p\equiv 1\;mod\;4$ ，這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬很快的也提出證明），和 $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ 沒有非零整數解的證明，表示為費馬最後定理 $n=4$ 時成立，歐拉用類似方式證明了 $n=3$ 的情形。
佩爾方程，最早誤以為是歐拉證明^[20]，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係^[21]。
二次式，繼費馬之後，歐拉繼續研究哪些質數可以表示為 $x^{2}+Ny^{2}$ ，其中有些顯示二次互反律的性質^[22] ^[23]^[24]。
丟番圖方程：歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程^[25]^[26]，特別的是他研讀丟番圖的著作，試圖要找到系統化的方法，但時機尚不成熟，幾何數論才剛形成而已^[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和橢圓積分之間的關係^[27]。

分支

初等數論: 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。

解析數論: 藉助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題^[28]，主要又可以分為積性數論（英語：Multiplicative number theory）與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論: 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類體論（class field theory）就是此間的顛峰之作。
算術代數幾何: 研究有理系數多變量方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想（法爾廷斯定理）、Weil猜想（英語：Weil conjectures），和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何數論: 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為閔可夫斯基定理。
計算數論: 藉助電腦的算法幫助數論的問題，例如質數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越數論: 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合數論: 利用組合和概率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。
模形式: 數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。

應用

註釋

[註 1]
德語原文「Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.」
[註 2]
1952年時數學家哈羅德·達文波特（英語：Harold Davenport）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」^[2]
[註 3]
不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

參考資料

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Weil 1984，第118頁，數論比其他數學領域容易出現這様的情形（說明在Mahoney 1994，第284頁）
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參考書目

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Edwards, Harold M. Euler and quadratic reciprocity. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America). November 1983, 56 (5): 285–291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368.

外部連結

（英文） Number Theory Web （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[2] [註 1]
德語原文「Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.」

[4] [註 2]
1952年時數學家哈羅德·達文波特（英語：Harold Davenport）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」^[2]

[5] [註 3]
不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

[1] [1]
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[FOOTNOTEWeil198445–46-7] [4]
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[8] [5]
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[9] [6]
Mahoney 1994，第48, 53–54頁

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[11] [8]
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[12] [9]
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