正方形 - Wikiwand
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正方形

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正方形
一個正四邊形
類型正多邊形
4
頂點4
對角線2
施萊夫利符號{4}
t{2}
考克斯特圖英語Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
對稱群二面體群 (D4), order 2×4
面積
內角90°
內角和360°
對偶正四邊形 (本身)
特性圓內接多邊形等邊多邊形英語Equilateral polygon、等角多邊形、isotoxal figure英語isotoxal figure

平面幾何學中,正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形[1]。正方形是正多邊形的一種:正四邊形。四個頂點為ABCD的正方形可以記為 ABCD

正方形是二維的超方形,也是二維的正軸形

性質

正方形是正四邊形,是特殊的矩形、對稱四邊形、平行四邊形。其四個內角為直角。除了四邊四角相等的性質,正方形還有以下性質:

面積和周長

正方形的面積是其邊長的平方
正方形的面積是其邊長的平方

正方形的周長是它的邊長的4倍。如果邊長為a,那麼周長。正方形的面積是其邊長的平方。如果邊長為a,那麼面積。如果我們知道正方形的對角線長d,那麼我們也可以之計算面積,如果正方形邊心距為r,外接圓半徑是R,那麼。,

若正方形的邊長為整數,其面積就是一個完全平方數。在周長固定時,正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面積。

對稱性

正方形是一種高度對稱的平面圖形,它關於兩條對角線的交點中心對稱(這個點又被稱作正方形的中心)。它的對稱軸有四條,分別是對邊中點的連線以及兩條對角線。保持正方形不變的變換有8種,包括全等變換,以正方形中心為中心、角度為90度、180度和270度的旋轉,以及關於四條對稱軸的反射。這八個變換組成了一個,是二面體群中的一個,記作D4


全等變換,四個頂點都不變

r1(順時針90°旋轉)

r2(180°旋轉)

r3(順時針270°旋轉)

fv垂直反射

fh水平反射

fd沿主對角線(左上至右下)反射

fc沿副對角線(右上至左下)反射
二面體群D4

正方形與無理數

公元前五世紀時,畢達哥拉斯學派最早證明了正方形的對角線長度與邊長長度的比例:,是無法表示為兩個自然數的公比的。

使用圓規與直尺建構出正方形。
使用圓規與直尺建構出正方形。

平面鑲嵌

用同一種多邊形不重疊地將平面「鋪滿」,稱為平面的正鑲嵌圖。正方形是能夠組成平面的正鑲嵌圖的三種正多邊形之一(另外兩種分別是正三角形正六邊形)。

參考文獻

  1. ^ Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. 

參見

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正方形
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