碎形
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碎形(英語:fractal,源自拉丁語:frāctus,有「零碎」、「破裂」之意),又稱分形、殘形,通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」[2],即具有自相似的性質。 碎形在數學中是一種抽象的物體,用於描述自然界中存在的事物。人工碎形通常在放大後能展現出相似的形狀[3]。 碎形也被稱為擴展對稱或展開對稱。如果在每次放大後,形狀的重複是完全相同的,這被稱為自相似。自相似的一個例子是門格海綿[4]。 碎形在不同的縮放級別上可以是近似相似的。曼德博集合的放大圖像中顯示了這種模式[2][5][6][7]。 碎形也包有圖像的細節重複自身的意味。[2][5][8]
碎形與其他幾何圖形相似但又有所不同。當你縮放一個圖形時,你就能看出碎形和其他幾何圖形的區別。將一個多邊形的邊長加倍,它的面積變為原來的四倍。新的邊長與舊邊長相比增加了 2 倍,而面積增加了 4 倍,即 倍。平面內的多邊形在二維空間中,指數 2 剛好是多邊形所在的二維空間的維數。類似的,對於三維空間中的球,如果它的半徑加倍,則它的體積變為原來的 8 倍,即 倍,指數 3 依舊是球所在空間的維數。如果將碎形的一維長度加倍,如將康托三分集的初始線段長加倍,分型空間的內容[註 1]變為 倍,此時n 不一定是個整數[2]。冪指數n 稱為分型的維數,它通常大於分型的拓撲維數[9]。
作為一個數學函數,碎形通常是處處不可微的[2][7][10]。無窮碎形曲線可以理解為一條一維的曲線在空間中繞行,它的拓撲維數仍然是 1,但大於 1 的碎形維數暗示了它也有類似曲面的性質[2][9]。
我們可以從這些年來正式發表的文獻中追蹤碎形概念的發展史。 從 17 世紀有了遞歸的概念開始,到 19 世紀,伯納德·波爾查諾、波恩哈德·黎曼和卡爾·魏爾斯特拉斯對連續不可微函數開創性的研究[11],這些嚴謹的數學概念推動着碎形的發展。20 世紀時,人們創造了wikt:碎形這個詞,隨之而來的是人們對碎形和計算機建模和興趣的迅速增長[12][13]。1975 年本華·曼德博首次提出「碎形(fractal)」這個術語。分型的拉丁文詞源frāctus(英語:wikt:fractus#Latin) 有「破壞」、「破碎」的意思,曼德博將分型的概念從理論碎形維數拓展到自然界中的幾何圖形[2]:405[8]。
一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式,即一種基於遞歸的反饋系統[6]。碎形有幾種類型,可以分別依據表現出的精確自相似性、半自相似性和統計自相似性來定義。權威學者們對碎形的精確定義仍有爭論。曼德博自己將碎形總結為:「美麗、(研究起來)極其困難但又非常的有用,這就是碎形」[14]。 1982 年曼德博提出了更正式的定義:「碎形是一種其郝斯多夫維數嚴格大於拓撲維數的集合」[註 2]。 後來他認為這種定義過於嚴格,於是簡化並擴展了這個定義:「碎形是由與整體在某些方面相似的部分構成的圖形。」[15]。又過了一段時間,曼德博決定使用以下方式來描述碎形:「...在研究和使用碎形 時,不需要迂腐的定義。用碎形維數 作為描述各種不同分型的通用術語」[16]。
通常認為,理論分型是無限迭代、自相似的、具有碎形維數的詳細數學結構。人們創造了許多分型圖形並進行了充分的研究[2][5][6]。 碎形並不限於幾何圖形,它也可以描述時間序列[4][7][17][18][19][20]。 雖然碎形是一個數學構造,它們同樣可以在自然界中被找到,這使得它們被劃入藝術作品的範疇。碎形在醫學、土力學、地震學和技術分析中都有應用。 在自然[21][22][23][24] [25]、技術[26][27][28][29]、藝術[30][31]、建築[32]和法律[33]等領域,人們對圖形、結構和音頻中不同程度自相似的碎形圖形進行了研究,並反過來利用碎形理論取生成圖形、結構和音頻[34]。碎形和混沌理論密切相關,因為混沌過程的圖形大多數都是碎形[35]。