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虛數

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虛數是指實數以外的複數,其中實部為0的虛數稱為純虛數。而英文imaginary number的另一種定義是可以寫作實數虛數單位乘積的數[1],以此定義,0可視為同時是實數也是虛數[2]

17世紀著名數學家笛卡爾所著《幾何學》(法語:La Géométrie)一書中,命名其為nombre imaginaire(虛構的數),成為了虛數imaginary number)一詞的由來。

後來在歐拉高斯的研究之後,發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複數平面上每一點對應着一個複數

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。
複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度
複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x軸的0點處,往上升方向可繪製y軸的「正」虛數,然後向上增加;而「負」虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為「虛數軸」,並被表示為,或

在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。的乘法對應於「逆時針」方向的90度旋轉,而方程式可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,「順時針」方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了也解出了方程。一般來說,乘以複數與以複數輻角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

我們應該將根號視為求的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應,實際上代表的是兩個數,分別為。但若直接將對應到,而對應到也未嘗不可。

性質

1. 不同的虛數都是不能比較大小的:成立,但卻均不成立。

舉例說明:(反證法)

假設

平方得

即可看出矛盾。

再舉例:假設

平方得(要變號)

即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲,很容易知道)是關於指數週期函數,最小正週期。於是,我們有

這表示方程的一個根,另三個根分別為

另外可以證明

爲下列方程的根

其中,稱爲共軛虛數(或共軛複數)。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

參見

參考資料

  1. ^ Uno Ingard, K. Chapter 2. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. 1988: 38. ISBN 0-521-33957-X. 
  2. ^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. : 11.2. ISBN 8171339123. 

外部連結

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