量子力學
物理學分支處理普朗克常數量級的現象 / 維基百科,自由的 encyclopedia
量子力學(英語:Quantum mechanics)是物理學的分支學科。它描述原子尺度及原子尺度以下的自然行為[2]:1.1。 它是所有量子物理學的基礎,包括量子化學、量子場論、量子技術、和量子資訊科學。
量子力學與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱。19世紀末,人們發現舊有的經典理論並沒有辦法解釋微觀系統,於是經由物理學家的努力,在20世紀初創立量子力學,解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了透過廣義相對論描寫的重力外,迄今所有基本相互作用均可以在量子力學的框架內描述(量子場論)。
量子理論的重要應用包括宇宙學、量子化學、量子光學、量子計算、超導磁體、發光二極體、激光器、電晶體和半導體如微處理器等。
愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。[3]:86[a]
量子力學逐漸從理論中興起,用來解釋與經典物理學不相符的觀測結果,例如馬克斯·普朗克在1900年解決黑體輻射問題,以及阿爾伯特·愛因斯坦1905年論文中能量與頻率的對應關係,該論文解釋了光電效應影響。 這些理解微觀現象的早期嘗試,現在被稱為「舊量子論」,導致尼爾斯·玻爾、歐文·薛定諤、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩、保羅·狄拉克等人在1920年代中期全面發展了量子力學。 現代理論是用各種專門發展的數學形式體系來表達的。 其中之一,稱為波函數的數學實體以機率幅的形式提供有關粒子能量、動量和其他物理特性的測量結果的資訊。
理想黑體可以吸收所有照射到它表面的電磁輻射,並將這些輻射轉化為熱輻射,其光譜特徵僅與該黑體的溫度有關,與黑體的材質無關。從經典物理學出發推導出的維恩定律在低頻區域與實驗數據不相符,而在高頻區域,從經典物理學的能量均分定理推導出瑞立-金斯定律又與實驗數據不相符,在輻射頻率趨向無窮大時,能量也會變得無窮大,這結果被稱作「紫外災變」。然而在那時,普朗克並未注意到紫外災變的嚴重性。
1900年12月14日,後來被定為量子力學的誕辰[4][查證請求],馬克斯·普朗克在柏林科學院發表報告,通過將維恩定律加以改良,又將波茲曼熵公式重新詮釋,他得出了一個與實驗數據完全吻合的普朗克公式來描述黑體輻射,但是在詮釋這個公式時,他將在物體裏發射與吸收輻射的原子視為微小的量子諧振子,並且假設這些量子諧振子的能量不是連續的,而是離散的數值,並且單獨量子諧振子吸收和發射的輻射能是量子化的。[5]:第2章[3]:58-66[6]:364-372
海因里希·赫茲於1887年實驗發現,如果照射紫外光於金屬表面,則電子會從金屬表面被發射出來,他因此發現了光電效應。1905年,阿爾伯特·愛因斯坦提出了光量子的理論來解釋這個現象。他認為,光束是由一群離散的光量子所組成,而不是連續性波動。這些光量子現今被稱為光子,其能量為
愛因斯坦大膽地預言,假若光子的頻率高於金屬的極限頻率,則這光子可以給予足夠能量來使得金屬表面的一個電子逃逸,造成光電效應。電子獲得的能量中,一部分被用來將金屬中的電子射出,這部分能量叫逸出功,(用表示),另一部分成為了逃逸電子的動能:
這裏 是電子的質量, 是其速度。
假若光的頻率低於金屬的極限頻率,那麼它無法使得電子獲得足夠的逸出功。這時,不論輻照度有多大,照射時間有多長,都不會發生光電效應。而當入射光的頻率高於極限頻率時,即使光不夠強,當它射到金屬表面時也會觀察到光電子發射。羅拔·密立根後來的實驗證明這些理論與預言屬實。
愛因斯坦將普朗克的量子理論加以延伸擴展,他提出不僅僅物質與電磁輻射之間的相互作用是量子化的,而且量子化是一個基本物理特性的理論。通過這個新理論,他得以解釋光電效應。[7]:1060-1063[3]:67-68
20世紀初,盧瑟福模型被公認為正確的原子模型。這個模型假設帶負電荷的電子,像行星圍繞太陽運轉一樣,圍繞帶正電荷的原子核運轉。在這個過程中庫侖力與離心力必須平衡。
但是這個模型有兩個問題無法解決。首先,按照經典電磁學,這個模型不穩定,由於電子不斷地在它的運轉過程中被加速,它應該會通過發無線電磁波喪失能量,這樣它很快就會墜入原子核。其次,實驗結果顯示,原子的發射光譜是由一系列離散的發射線組成,比如氫原子的發射光譜是由一個紫外線系列(來曼系)、一個可見光系列(巴耳麥系)和其它的紅外線系列組成;而按照經典理論原子的發射譜應該是連續的。
1913年,尼爾斯·玻爾提出了玻爾模型,這個模型引入量子化的概念來解釋原子結構和光譜線。玻爾認為,電子只能在對應某些特定能量值的軌道上運動。假如一個電子,從一個能量比較高的軌道(),躍遷到一個能量比較低的軌道()上時,它發射的光的頻率為
反之,通過吸收同樣頻率的光子,電子可以從低能的軌道,躍遷到高能的軌道上。
玻爾模型可以解釋氫原子的結構。改善的玻爾模型,還可以解釋類氫原子的結構,即 He+, Li2+, Be3+ 等。但它還不夠完善,仍然無法準確地解釋其它原子的物理現象。[3]:53-57[9]:24-29
1924年,路易·德布羅意發表博士論文提出,粒子擁有波動性,其波長與動量成反比,以方程式表示為[12]
- 。
這理論稱為德布羅意假說,又稱為物質波假說。這意味着電子不但具有粒子性,還具有波動性。
1927年,克林頓·戴維森與雷斯特·革末做實驗將低能量電子入射於鎳晶體,然後測量對於每一個角度的散射強度。從分析實驗數據,他們發現,假設加速電勢為5.4eV,則在50°之處會出現強勁反射,符合威廉·布拉格於1913年所提出的 X射線繞射性質。這驚人的結果證實電子是一種物質波,也證實了物質波假說。這實驗就是著名的戴維森-革末實驗。[9]:64-68
電子的雙縫實驗可以非常生動地展示出多種不同的量子力學現象。[13]如右圖所示,
- 打在屏幕上的電子是點狀的,這個現象與一般感受到的點狀的粒子相同。[b]
- 電子打在屏幕上的位置,有一定的分佈機率,隨時間可以看出雙縫繞射所特有的條紋圖像。假如一個光縫被關閉的話,所形成的圖像是單縫特有的波的分佈機率。
在圖中的實驗裏,電子源的強度非常低,所發射出的電子與電子之間的距離約為150km,任意兩個電子同時存在於電子發射器與探測屏之間的機率微乎其微。顯然可以推斷,單獨電子同時通過了兩條狹縫,自己與自己發生干涉,從而出現這個干涉圖樣。對於經典物理學來說,這個解釋非常奇怪。從量子力學的角度來看,電子的分佈機率可以用兩個分別通過兩條狹縫的量子態疊加在一起來解釋。這個實驗非常具有信服力地展示出電子的波動性。[11]
在二十世紀二十年代,出現了兩種量子物理的理論,即維爾納·海森堡的矩陣力學和埃爾溫·薛定諤的波動力學。
海森堡主張,只有在實驗裏能夠觀察到的物理量(可觀察量),才具有物理意義,才可以用理論描述其物理行為,例如,不能直接觀察到電子運動於原子裏的位置與週期。因此,他着重於研究電子躍遷時所發射光波的離散頻率和輻照度,這些是可觀察量。但是,他無法實際應用這點子於氫原子問題,因為這問題太過複雜,他只能改應用這點子於比較簡單,但也比較不實際的問題。經過一番努力,他計算出諧振子問題的能譜與零點能量,符合分子光譜學的結果。另外,在海森堡理論中,系統的哈密頓量是位置和動量的函數,但它們不再具有經典力學中的定義,而是由二階(代表着過程的初態和終態)傅立葉系數的矩陣給出。海森堡還發現,這些矩陣互不對易。這些論述後來發展成為矩陣力學。[3]:161-163
從德布羅意論文的相對論性理論,薛定諤推導出一種波動方程式,稱為薛定諤方程式;用這方程式可以計算出氫原子的譜線,得到與玻爾模型完全相同的答案。波動力學的基礎方程式就是薛定諤方程式[3]:163-164
薛定諤率先於1926年證明了這兩種理論的等價性。稍後,卡爾·埃卡特(英語:Carl Eckart)和沃爾夫岡·鮑利也給出類似證明,[3]:166約翰·馮·紐曼嚴格地證明了波動力學和矩陣力學的等價性。[14]
整個量子力學的數學理論可以建立於五個基礎公設(postulate)。這些公設不能被嚴格推導出來,而是從實驗結果仔細分析歸納總結而得到的。從這五個公設,可以推導出整個量子力學。假若量子力學的理論結果不符合實驗結果,則必須將這些基礎公設加以修改,直到沒有任何不符合之處。至今為止,量子力學已被實驗核對至極高準確度,還沒有找到任何與理論不符合的實驗結果,雖然有些理論很難直覺地用經典物理的概念來理解,例如,波粒二象性、量子糾纏等等。[15][16]:211ff[17]:165-167
- 量子態公設:量子系統在任意時刻的狀態(量子態)可以由希爾伯特空間 中的態向量 來設定,這態向量完備地給出了這量子系統的所有資訊。這公設意味着量子系統遵守態疊加原理,假若、屬於希爾伯特空間,則也屬於希爾伯特空間,其中和皆為常數。
- 時間演化公設: 態向量為 的量子系統,其動力學演化可以用薛定諤方程式表示, ;其中,哈密頓算符 對應於量子系統的總能量,是約化普朗克常數。根據薛定諤方程式,假設時間從流動到,則態向量從演化到 ,這過程以方程式表示為 ;其中, 是時間演化算符。
- 可觀察量公設:每個可觀察量 都有其對應的厄米算符 ,而算符的所有本徵向量共同組成一個完備基底。
- 塌縮公設:對於量子系統測量某個可觀察量 ,這動作可以數學表示為將其對應的厄米算符 作用於量子系統的態向量 ,測量值只能為厄米算符 的本徵值。在測量後,假設測量值為,則量子系統的量子態立刻會塌縮為對應於本徵值的本徵態 。
- 波恩公設:對於這測量,獲得本徵值 的機率為量子態處於本徵態的機率幅的絕對值平方。[c]
量子態指的是量子系統的狀態,態向量可以用來抽象地表現量子態。採用狄拉克標記,態向量表示為括量;其中,在符號內部的希臘字母可以是任何符號,字母,數字,或單字。例如,沿着磁場方向測量電子的自旋,得到的結果可以是上旋或是下旋,分別標記為或。[19]:93-96
對量子態做操作定義,量子態可以從一系列製備程序來辨認,即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。[20]:15-16例如,使用斯特恩-革拉赫實驗儀器,設定磁場朝着z-軸方向,如右圖所示,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量分裂成兩道,一道為上旋,量子態為,另一道為下旋,量子態為,這樣,可以製備成量子態為的銀原子束,或量子態為的銀原子束。原本銀原子束的態向量可以按照態疊加原理表示為[18]:1-4
- ;
其中,、是複值系數,、分別為入射銀原子束處於上旋、下旋的機率,。
在斯特恩-革拉赫實驗裏,可以透過測量而得到自旋的z-分量,這種物理量稱為可觀察量,透過做實驗測量可以得到其測值。每一個可觀察量都有一個對應的量子算符;將算符作用於量子態,會使得量子態線性變換成另一個量子態。假若變換前的量子態與變換後的量子態,除了乘法數值以外,兩個量子態相同,則稱此量子態為此算符的本徵態,稱此乘法數值為此算符的本徵值。[18]:11-12可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋,每一次測量所得到的測值只能是其中的一個本徵值,而且,測得這本徵值的機會呈機率性,量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[19]:106-109例如,自旋的z-分量是個可觀察量,做實驗可以得到的測值為或。對應於可觀察量的量子算符有兩個本徵值分別為、的本徵態、,所以將量子算符分別作用於這兩個本徵態,會得到[18]:11-12
- 、
- 。
將量子算符作用於量子態,會得到本徵值、的機率分別為、。假若本徵值為,則量子態會塌縮為量子態;假若本徵值為,則量子態會塌縮為量子態。
在量子力學公設裏,第二項直接提到量子系統的動力學演化,其遵守含時薛定諤方程式,因此,量子態的演化在任意時刻可以被完全預測,具有連續性、命定性與可逆性。第四項提到,當對於量子系統作測量時,其量子態會塌縮至幾個本徵態中的一個本徵態,具有不連續性、機率性與不可逆性。怎樣調和這兩種不同的行為,一種是關於量子態的自然演化,另一種是關於測量引發的演化,這仍舊是未解決的物理學問題。[20]:7-11
量子系統的動力學演化可以用不同的繪景來表現。通過重新定義,這些不同的繪景可以互相變換,它們實際上是等價的。假若要專注分析量子態怎樣隨着時間的流易而演化,時間演化算符怎樣影響量子態,則可採用薛定諤繪景。假若要專注了解對應於可觀察量的算符怎樣隨着時間的流易而演化、時間演化算符怎樣影響這些算符,則可採用海森堡繪景。[18]:80-89
量子力學與經典力學的一個主要區別,在於怎樣理論論述測量過程。在經典力學裏,一個物理系統的位置和動量,可以同時被無限精確地確定和預測。在理論上,測量過程對物理系統本身,並不會造成任何影響,並可以無限精確地進行。在量子力學中則不然,測量過程本身會對系統造成影響。[21]
怎樣才能正確地理論描述對於一個可觀察量的測量?設定一個量子系統的量子態,首先,將量子態分解為該可觀察量的一組本徵態的線性組合。測量過程可以視為對於本徵態的一個投影,測量結果是被投影的本徵態的本徵值。假設,按照某種程序製備出一個系綜,在這系綜裏,每一個量子態都與這量子態相同,現在對於這系綜裏的每一個量子態都進行一次測量,則可以獲得所有可能的測量值(本徵值)的機率分佈,每個測量值的機率等於量子態處於對應的本徵態的機率幅的絕對值平方。[19]:36-37, 96-100
因此,假設對於兩個不同的可觀察量 和 做測量,改變測量順序,例如從改變為,則可能直接影響測量結果。假若測量結果有所不同,則稱這兩個可觀察量為不相容可觀察量;否則,稱這兩個可觀察量為相容可觀察量。以數學術語表達,兩個不相容可觀察量 和 的對易算符不等於零:[19]:110-112
- 。
不確定性原理表明,越能準確地設定粒子的位置,則越不能準確地設定粒子的動量,反之亦然,[22]:引言以方程式表示為[19]:110-114
- ;
其中,、分別為位置、動量的不確定性。
設想一個定域性的波包,假設波包的尺寸為 .從計數波包的週期數,可以知道其波數:
- 。
假若,計數的不確定性為,那麼,波數的不確定性是
- 。
根據德布羅意假說,。因此,動量的不確定性是
- 。
由於粒子位置的不確定性是,所以,這兩個不相容可觀察量的不確定性為[23]:5-6
- 。