黎曼曲率張量維基百科,自由的 encyclopedia 在微分幾何中,黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率 ,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫協變導數)由下式給出: R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w . {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.} 這裏 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 是一個流形切空間的線性變換;它對於每個參數都是線性的。 注意有些作者用相反的符號定義曲率. 如果 u = ∂ / ∂ x i {\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}} 與 v = ∂ / ∂ x j {\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}} 是坐標向量場則 [ u , v ] = 0 {\displaystyle [u,v]=0} 所以公式簡化為 R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w} 也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。 線性變換 w ↦ R ( u , v ) w {\displaystyle w\mapsto R(u,v)w} 也稱曲率變換。
在微分幾何中,黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率 ,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫協變導數)由下式給出: R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w . {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.} 這裏 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 是一個流形切空間的線性變換;它對於每個參數都是線性的。 注意有些作者用相反的符號定義曲率. 如果 u = ∂ / ∂ x i {\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}} 與 v = ∂ / ∂ x j {\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}} 是坐標向量場則 [ u , v ] = 0 {\displaystyle [u,v]=0} 所以公式簡化為 R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w} 也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。 線性變換 w ↦ R ( u , v ) w {\displaystyle w\mapsto R(u,v)w} 也稱曲率變換。