不變因子

數學中，不變因子是λ-矩陣理論中的概念。不變因子定義為λ-矩陣的若爾當標準型中主對角線上出現的非零元素。對矩陣進行初等變換不會影響不變因子，所以兩個等價的矩陣擁有相同的不變因子。在不變因子的概念上可以進一步定義初等因子的概念。

定義

λ-矩陣是以不定元λ的多項式作為元素的矩陣。例如：

${\displaystyle A(\lambda )={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}}.}$

經過各種初等變換，一個λ-矩陣可以變換為矩陣的標準形。形如：

${\displaystyle A(\lambda )\Rightarrow {\begin{bmatrix}d_{1}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&d_{2}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\ddots &\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&d_{r}(\lambda )&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&0&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\ddots &\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\;&0\end{bmatrix}}.}$

其中r 是矩陣的秩，並且每個多項式${\displaystyle d_{i}(\lambda )}$整除${\displaystyle d_{i+1}(\lambda )}$。

若${\displaystyle 1\leq k\leq \mathrm {R} (A(\lambda ))}$，定義矩陣${\displaystyle A(\lambda )}$ 全部非零k階子式的最大首一公因式為矩陣${\displaystyle A(\lambda )}$ 的k階行列式因子，那麼高階的行列式因子必然是低階的行列式因子的倍數。可以證明，初等變換不改變各階行列式因子，所以等價的矩陣擁有相同的各階行列式因子。然而，通過初等變換，總是可以將一個λ-矩陣變為只有對角線上有非零元素的標準形。所以，為了研究各階的行列式因子，只需要看矩陣的標準形中所顯示的信息就可以了。

在標準型中，可以看出，當${\displaystyle k>r}$ 時，行列式因子必然是0。當${\displaystyle k\leq r}$的時候，行列式因子是前k 行k 列構成的子式：

${\displaystyle D_{k}(\lambda )=d_{1}(\lambda )d_{2}(\lambda )\cdots d_{k}(\lambda )}$

所以，反過來有：

${\displaystyle d_{1}(\lambda )=D_{1}(\lambda )}$ ${\displaystyle d_{i}(\lambda )={\frac {D_{i}(\lambda )}{D_{i-1}(\lambda )}}\qquad (i\geq 2)}$

也就是說，λ-矩陣的標準形是唯一的。從而可以定義：

一個λ-矩陣的不變因子是其標準形中主對角線上的元素：${\displaystyle d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )}$。

初等因子

初等因子的定義建立在不變因子上。設某個矩陣的不變因子是：${\displaystyle d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )}$，那麼將這些不變因子在複數域上分解成一次多項式的乘積：

${\displaystyle d_{1}(\lambda )=(\lambda -x_{11})^{c_{11}}(\lambda -x_{12})^{c_{12}}\cdots (\lambda -x_{1m})^{c_{1m}}}$ ${\displaystyle d_{2}(\lambda )=(\lambda -x_{21})^{c_{21}}(\lambda -x_{22})^{c_{22}}\cdots (\lambda -x_{2m})^{c_{2m}}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle d_{r}(\lambda )=(\lambda -x_{r1})^{c_{r1}}(\lambda -x_{r2})^{c_{r2}}\cdots (\lambda -x_{rm})^{c_{rm}}}$

其中的${\displaystyle c_{ij}}$ 是一次多項式出現的次數。如果有某個${\displaystyle c_{ij}>0}$，那麼對應的多項式${\displaystyle (\lambda -x_{ij})^{c_{ij}}}$ 就稱為矩陣的初等因子。一個矩陣的所有初等因子合稱為它的初等因子組。值得注意的是同一個初等因子可以重複出現在初等因子組中，重複的次數是它在以上表達式中出現的次數。

從一個矩陣的不變因子可以確定出這個矩陣的所有初等因子。反之，從一個矩陣的初等因子組也可以反推出矩陣的所有不變因子。具體做法是：將具有相同因子的初等因子根據冪次的大小從高到低排成一排，如果不夠的話用1補足，這樣會得到若干排多項式，每排的個數是r 個。接下來將每排最右邊的多項式全部乘起來，就得到${\displaystyle d_{1}}$，將每排右數第二個多項式全部乘起來，就得到${\displaystyle d_{2}}$，等等。以此類推，就可以得到所有的不變因子。

例如：${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}$，求特徵矩陣的初等因子組。

考慮其三階子式

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda &-1&-1\\-1&\lambda &-1\\-1&-1&\lambda \end{vmatrix}}=\lambda (\lambda -1)(\lambda +1)-2(\lambda +1)=(\lambda +1)^{2}(\lambda -2)}$

所以其三階行列式因子為 ${\displaystyle D_{3}(\lambda )=(\lambda +1)^{2}(\lambda -2)}$

同理考慮其二階子式${\displaystyle \left\{\lambda ^{2}-1,1+\lambda ,-1-\lambda \right\}}$。注意，有部分重複子式沒有列出。所以其二階行列式因子為 ${\displaystyle D_{2}(\lambda )=\lambda +1}$。

由於一階行列式因子含有1，故${\displaystyle D_{1}(\lambda )=1}$。

那麼根據行列式因子，可以求出不變因子：

${\displaystyle d_{1}=D_{1}(\lambda )=1,d_{2}={\frac {D_{2}(\lambda )}{D_{1}(\lambda )}}=\lambda +1,d_{3}={\frac {D_{3}(\lambda )}{D_{2}(\lambda )}}=(\lambda +1)\cdot (\lambda -2)}$

進而可以看出它的初等因子有${\displaystyle \lambda +1,\lambda +1,\lambda -2}$。

則Jordan標準型為

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&&\\&-1&\\&&-1\end{bmatrix}}}$

性質

• 矩陣的特徵多項式是所有不變因子的乘積。矩陣的最小多項式是${\displaystyle d_{r}(\lambda )}$。
• 數域上兩個矩陣相似的條件是它們對應的特徵矩陣擁有相同的初等因子組或者相同的不變因子。
• 一個維數為d，主對角線上的值是${\displaystyle \alpha }$ 的若爾當塊的初等因子是多項式：${\displaystyle (\lambda -\alpha )^{d}}$。

參考來源

• 姚慕生. 《高等代数》. 復旦大學出版社. 2007. ISBN 7-309-03169-5.
• 王萼芳. 《高等代数教程》. 清華大學出版社. 1997. ISBN 9787302024521.