位似變換

在數學中，位似變換（英語：homothety）是仿射空間上的一種變換，由一點 ${\displaystyle S}$ 和一個非零常數 ${\displaystyle k}$ 決定。 ${\displaystyle S}$ 稱為位似中心， ${\displaystyle k}$ 稱為位似比。位似變換將點 ${\displaystyle X}$ 映射至滿足以下規則的點 ${\displaystyle X'}$ ^[1]

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$

位似變換的作用是${\displaystyle X'=X+k{\overrightarrow {SX}}}$

也就是說，令 ${\displaystyle S}$ 點不變，把任意點 ${\displaystyle X}$ 映射到 ${\displaystyle X'}$ ，使得向量 ${\displaystyle SX}$ 和向量 ${\displaystyle SX'}$ 在一條直線上，而比例為 ${\displaystyle k}$ 。在歐氏幾何中，位似變換就是固定一點的相似變換，當位似比${\displaystyle k>0}$時保持所有向量方向，而當${\displaystyle k<0}$時逆轉所有向量方向。仿射空間上的所有的位似變換與平移變換一起，構成一個群，稱為伸縮群或者位似——平移群。這個群是由所有把任意直線變為與其平行的直線的仿射變換構成的。