信息幾何

信息幾何是用微分幾何研究概率論和統計學的交叉學科。^[1]

所有正態分佈的集合構成具有雙曲幾何的統計流形。

這門學科研究統計流形，即點與概率分佈相對應的黎曼流形。

引言

從歷史上看，信息幾何可追溯到卡利安普迪·拉達克里希納·拉奧的工作，他首先將費希爾矩陣視為黎曼度量。^[2][3]現代理論主要歸功於甘利俊一，他的工作對該領域產生了重大影響。^[4]

經典的信息幾何將有參概率模型視作黎曼流形。對於這類模型，可自然選擇出黎曼度量，即費希爾信息度量。在概率模型為指數族時，有可能用黑塞度量（即凸函數的勢給出的黎曼度量）導出統計流形，這時流形會自然繼承兩個平面仿射聯絡，以及正規布雷格曼散度。歷史上，許多工作都致力於研究這些例子的相關幾何。在現代背景下，信息幾何適用於更廣泛的背景，包括非指數族、非參數統計，甚至是不從已知概率模型導出的抽象統計流形。這些結果結合了信息論、仿射微分幾何、凸分析等眾多領域的技術。

該領域的標準參考書是甘利俊一與長岡浩司的《信息幾何方法》^[5]及Nihat Ay等人的最新著作。^[6]Frank Nielsen在調查報告中做了較溫和的介紹。^[7]2018年，《信息幾何學》期刊正式創立，專門討論該領域。

應用

作為一個跨學科領域，信息幾何已被廣泛應用於各種領域，主要應用於統計分析、控制理論、神經網絡、量子力學、信息論等領域。

下面是不完整的清單：

• 統計推斷^[8]
• 時間序列與線性系統
• 過濾問題^[9]
• 量子系統^[10]
• 神經網絡
• 機器學習
• 統計力學
• 生物學
• 統計學^{[11] [12]}
• 金融數學^[13]

另見

• 魯平幾何
• 相對熵
• 隨機幾何
• 流形隨機分析
• 投影濾波器