倒向隨機微分方程

倒向隨機微分方程（BSDE）是帶有終點條件的隨機微分方程，其解要根據底層濾波進行調整。BSDE自然地出現在各種應用中，如隨機控制、金融數學與非線性費曼-卡茨公式。^[1]

背景

1973年讓-米歇爾·比斯姆提出了BSDE線性情形^[2]，1990年法國學者Etienne Pardoux（英語：Etienne Pardoux）和中國學者彭實戈合作發表的論文中提出BSDE非線性情形，線性是廣泛的非線性中的一特殊形式^[3][4]。

數學框架

固定終點時刻${\displaystyle T>0}$與概率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$。令${\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}$為布朗運動，其自然濾波${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$。BSDE是積分方程，其類型為

${\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}$

1

其中${\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$稱作BSDE的生成器，終點條件${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-可測隨機變量，解${\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}$包含隨機過程${\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}$、${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$，其適應於過濾${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$。

例子

在${\displaystyle f\equiv 0}$情形下，BSDE (1)簡化為

${\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].}$

2

若${\displaystyle \xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )}$，則根據鞅表示定理，存在唯一的隨機過程${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$使${\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}$、${\displaystyle Z_{t}}$滿足BSDE (2)。

另見

• 鞅表示定理
• 隨機控制
• 隨機微分方程