擊中時

擊中時也稱為命中時、首中時，是數學中隨機過程研究裏出現的一個概念，表示一個隨機過程首次接觸到狀態空間的某個子集的時間。在特定的例子中，也會被稱為離時（脫離時間）或回時（首次迴歸時間）。

布朗運動過程的三個路徑，接觸到上限則結束

定義

設${\displaystyle T}$是一個有序的指標集，比如說是自然數的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$、非負實數集${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )}$或者是這兩者的子集。${\displaystyle T}$中的一個元素${\displaystyle t\in T}$可以被認為是一種記錄時間的方式（離散或連續型）。給定一個概率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$，一個可測狀態空間${\displaystyle S}$，設${\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$為一個隨機過程，並設${\displaystyle A}$為${\displaystyle S}$中的一個可測子集。那麼，隨機過程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$首次接觸子集${\displaystyle A}$的擊中時定義為以下的隨機變量^[1]:155：

${\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}$

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.}$

同樣，可以定義${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$首次離開子集${\displaystyle A}$的離時：

${\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.}$

可以看出離時實際上也是擊中時的一種，表示首次接觸到要研究的子集的補集的時間。很多時候，離時也會記為${\displaystyle \tau _{A}}$，和擊中時一樣。

另外一種擊中時是 ${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$後首次回到出發點${\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}}$的擊中時，稱為回時或首次迴歸時間：

${\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}$

例子

• 設${\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$為${\displaystyle \mathbb {R} }$上標準的布朗運動過程，則對於任意（實數的）波萊爾可測子集${\displaystyle A}$，都可以定義首次接觸${\displaystyle A}$的擊中時${\displaystyle \tau _{A}^{W}}$，並且可以證明這樣定義的擊中時${\displaystyle \tau _{A}^{W}}$都是停時。

• 如果定義標準布朗運動${\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$首次離開區間${\displaystyle A_{r}=(-r,r)}$的離時為${\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}}$，那麼這個離時也是停時，它的數學期望值是：${\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}}$，方差是${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.}$

首發定理

對於給定的概率空間，隨機過程首次進入狀態空間中的一個可測子集${\displaystyle F}$的擊中時也稱為${\displaystyle F}$的首發時間（début）。首發定理說明，如果隨機過程是循序可測的，那麼可測子集的首發時間一定是停時。循序可測過程包括所有的左連續適應過程和右連續適應過程。首發定理的證明用到了解析集的性質。首發定理需要概率空間是完全概率空間。

首發定理的逆定理指出，所有定義在某個實數時間軸的濾波上的停時，都能表示為某個狀態空間子集的擊中時。特別地，存在一個適應的不增隨機過程，其路徑幾乎總是左極限右連續，並且取值為0或1，使得子集${\displaystyle \{0\}}$的擊中時就是對應的停時。

參見

• 停時