分段回歸

分段回歸是一種回歸分析方法，將自變量劃為若干區間，並分別擬合出單獨的線段。通過對各種自變量分區，也可以對多元數據進行分區回歸分析。自變量聚類為不同組別時，這些區域的變量之間會表現出不同的關係，這時分段回歸就非常有用。分段之間的界限就是間斷點。

分段線性回歸就是分段回歸，通過線性回歸得到區間內的關係。

2段線性回歸

第一段水平

第一段上升

第一段下降

分2段線性回歸的段間有1個間斷點，可用來量化影響因素（x）變化的響應函數（Yr）的突然變化。間斷點可解釋為臨界值、安全值或閾值，過該值會產生（非）預期效果。間斷點對決策非常重要。^[1]

這些圖表說明了可獲得的一些結果和回歸類型。

分段回歸分析基於一組( y, x )數據，其中y是因變量，x是自變量。

最小二乘法分別適用於每個分段，通過這種方法，兩條回歸線可以分別擬合數據集，同時使因變量觀測值（y）與計算值（Yr）之間的差值平方和（SSD）最小化：

• Yr = A₁.x + K₁     其中x < BP（間斷點）
• Yr = A₂.x + K₂     其中x > BP（間斷點）

其中

Yr是一定值x下y的期望（預測）值；

A₁、A₂是回歸係數（表示線段斜率）；

K₁、K₂是回歸常數（表示y軸截距）。

數據可能顯示多種類型或趨勢，^[2]見圖。

該方法還能得到2個相關係數（R）：

• ${\displaystyle R_{1}^{2}=1-{\frac {\sum (y-Y_{r})^{2}}{\sum (y-Y_{a1})^{2}}}}$     其中x < BP（間斷點）

及

• ${\displaystyle R_{2}^{2}=1-{\frac {\sum (y-Y_{r})^{2}}{\sum (y-Y_{a2})^{2}}}}$     其中x > BP（間斷點）

其中

${\displaystyle \sum (y-Y_{r})^{2}}$是每段的最小化SSD

，而

Y_a1、Y_a2是各自區間y的均值。

在確定最合適的趨勢時，必須進行統計檢驗，以確保趨勢可靠（顯著）。

如果無法檢測到明顯的斷點，則必須採用無斷點回歸。

例子

分段線性回歸，3b型

右邊的藍色圖給出了芥菜產量（Yr = Ym, t/ha）和土壤鹽化（x = Ss，用土壤溶液導電率EC表示，單位為dS/m）之間的關係：^[3]

BP = 4.93, A₁ = 0, K₁ = 1.74, A₂ = −0.129, K₂ = 2.38, R₁² = 0.0035（不顯著）, R₂² = 0.395（顯著），以及：

• Ym = 1.74 t/ha                        對於Ss < 4.93（斷點）
• Ym = −0.129 Ss + 2.38 t/ha     對於Ss > 4.93（斷點）

表明土壤鹽度< 4.93 dS/m是安全的，而土壤鹽度> 4.93 dS/m則會使土壤鹽度每增加一個單位減產0.129 t/ha。

下圖還顯示了置信區間和不確定性。

測試程序

時間序列實例，5型

ANOVA表示例：本例中引入斷點非常重要。

以下統計檢驗用於確定趨勢類型：

1. 將BP表示為回歸係數A₁、A₂與y數據均值Y₁、Y₂，以及x數據均值X₁、X₂（BP的左右），利用加法和乘法的誤差傳播規律計算BP的標準差（SE），並應用T檢驗，從而確定斷點（BP）的顯著性
2. 應用T分布和A₁、A₂的標準差SE，檢驗A₁、A₂的顯著性
3. 利用A₁、A₂差的SE，採用T分布檢驗差的顯著性
4. 利用Y₁、Y₂差的SE，運用T分布檢驗差的顯著性
5. 檢驗是否有斷點的一種更正式的統計方法是偽分數檢驗，無需估計分段線。^[4]

此外，還使用了所有數據的相關係數(Ra)、決定係數或解釋係數、回歸函數的信賴區間及ANOVA分析。^[5] 在顯著性檢驗設定的條件下，所有數據的決定係數(Cd)應達到最大值，其計算公式為

• ${\displaystyle C_{d}=1-{\sum (y-Y_{r})^{2} \over \sum (y-Y_{a})^{2}}}$

其中Yr是根據前回歸方程得出的y的預期（預測）值，Ya是所有y值的均值。

Cd係數介於0（完全沒有解釋）和1（完全解釋，完全匹配）之間。
在純粹的非分段線性回歸中，Cd=Ra²。在分段回歸中，Cd要明顯大於Ra²才能證明分段的合理性。

可找到斷點的最優值，使Cd係數得極大值。

無效應範圍

X=0到X=7.85之間沒有影響的範圍

分段回歸常用於檢測解釋變量(X)對因變量(Y)無效應的範圍。 無效應範圍可能在X域的前部，也可能在後部。對於「無效應」分析，應用最小二乘法進行分段回歸分析^[6]可能不是最合適的技術，因為其目的是找到Y-X關係可被視為零斜率的最長延伸段，在之外，斜率與零有顯著差異，但有關該斜率最佳值的知識並不重要。找到無效應範圍的方法是對該範圍進行漸進式部分回歸^[7]，小步擴展範圍，直到回歸係數與零有顯著差異。

在下圖中，X=7.9時找到了斷點，而對於相同的數據（芥菜產量見上圖藍色部分），最小二乘法僅在X=4.9時得到斷點。後者的值較低，但對間斷點以外數據的擬合效果更好。因此，採用哪種方法取決於分析的目的。

另見

• 鄒檢驗
• 簡單線性回歸
• 線性回歸
• 普通最小二乘法
• 多元自適應回歸樣條
• 局部回歸
• 斷點回歸
• 分步回歸