單葉函數

單葉函數（univalent function）是數學領域中的複分析對函數的一種分類，若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集，而函數為單射函數，此函數即為單葉函數。

若${\displaystyle f}$為一全純函數，且滿足下式

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}$

則${\displaystyle f}$為單葉函數。

舉例

任何由開集單位圓盤映射到本身的映射${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}}$（其中${\displaystyle |a|\leq 1}$）為單葉函數。

函數${\displaystyle f\colon z\mapsto 2z+z^{2}}$在開單位圓盤內是單葉函數，因為${\displaystyle f(z)=f(w)}$也就表示${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$，而第二個因式在開單位圓盤內都不為零，因此${\displaystyle z=w}$，${\displaystyle f}$是單射函數。

基本性質

若${\displaystyle G}$及${\displaystyle \Omega }$為二個複數平面中的開集連通空間，且

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

是一個滿足${\displaystyle f(G)=\Omega }$的單葉函數（有一對一的對應關係），則${\displaystyle f}$導數恆不為0，${\displaystyle f}$可逆，而且其逆元素${\displaystyle f^{-1}}$也是全純函數。依鏈式法則可得到下式：

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

對所有${\displaystyle G.}$中的複數${\displaystyle z}$皆成立。

和實函數的比較

實解析函數和全純函數不同，上述的性質在實解析函數中不成立，考慮以下的實數函數：

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

而ƒ(x) = x³。此函數也是單射函數，但在x = 0處其導數為0，其逆元素在 (−1, 1)區間中也不都是解析函數，也不完全可微。

若將定義域擴展到複數平面內，原點附近的開放子集${\displaystyle G}$內，上述函數就不是單射函數了，例如${\displaystyle f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )}$（其中${\displaystyle \omega }$是三次單位根，而${\displaystyle \varepsilon }$是小於${\displaystyle G}$半徑的正實數）。

參考資料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.