反伽瑪函數

反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。 換句話說，如果反Γ函數以${\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}$的形式表示，則其滿足${\textstyle \Gamma (y)=x}$。 例如24的反伽瑪函數值為5，${\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}$，因為5代到伽瑪函數為24^[1]。 一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間${\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}$上且圖形在實數區間${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$上的主分支，其中${\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }$^[2]是伽瑪函數在正實軸上的最小值、${\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }$^[3]是能使${\displaystyle \Gamma (x)}$最小的${\displaystyle x}$值^[4]。 反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。

反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$的函數圖形

反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$在複數域的色相環複變函數圖形

限制在${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$。 在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$。

直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數

定義

由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

${\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}$

更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：^[5]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}$

其中${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }$、a和b為滿足${\displaystyle b\geqq 0}$的實數、${\displaystyle \mu (t)}$為博雷爾測度。

近似值

不同分支的反伽瑪函數

反伽瑪函數的分支可以透過先計算${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$在分支點${\displaystyle \alpha }$附近的泰勒級數，接着截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似^[6]；

${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

反伽瑪函數也有如下的漸近分析形式：^[7]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函數。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。

級數展開

要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$可以得到第${\displaystyle n}$個分支的反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$，其中${\displaystyle n\geq 0}$。^[8]

${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}$

其中，${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$是多伽瑪函數。

反階乘

反階乘的複變函數圖形

反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial^-1或ArcFactorial^[9]，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到^[10]。 例如120的反階乘為5，因為${\displaystyle 5!=120}$。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。^{[註 1]}

部分的反階乘

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$的反階乘
-1	2.39393017729 + 2.66169895945${\displaystyle i}$
0	不存在
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.28307261544 + 1.09787390370${\displaystyle i}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	1
2	2
3	2.4058699863
4	2.6640327972
5	2.8523554580
6	3
24	4

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}$

這是由於：

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$

反階乘可以定義為：

${\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}$

條件是${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}$在復平面上是全純的，並且沿着實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到${\displaystyle -\infty }$。

在分支點${\displaystyle z=\mu _{0}}$附近的反階乘可以展開為；

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}$

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

因此，反階乘也可以寫成如下的漸近分析形式：^[7]

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函數。

參見

• 倒數伽瑪函數