吉巴德-薩特斯維特定理

在社會選擇理論中吉巴德-薩特斯維特定理（英語：Gibbard–Satterthwaite theorem）是哲學家艾倫·吉巴德於1973年^[1]以及經濟學家馬克·薩特斯維特於1975年分別發表的研究成果。^[2]這是處理關於排序投票時用到的定理，這個定理指出，對於任何一個投票規則，必須滿足以下三點中的一種：

1. 規則必須是獨裁的，存在一個參與者能夠決定最終的結果
2. 只存在兩種選擇
3. 會遇到策略性投票，導致選民無法更好的表達自己的觀點

雖然吉巴德-薩特斯維特定理只適用於排序投票，但是吉巴德定理更具有普適性，因為後者還能用於處理非排序投票的集體決策問題。

非正式敍述

假設三個名為愛麗絲、鮑勃和卡羅爾的選民，他們希望從名為${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$ 和${\displaystyle d}$的四名候選人中選出一名獲勝者。假設他們使用 波達計數法，每個選民都表示其對候選人的偏好順序。 每張選票的第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，最後一名得0分。一旦所有選票都被清點完畢，得分最高的候選人將被宣布為獲勝者。

假設他們的偏好如下：

投票人	第一名	第二名	第三名	第四名
愛麗絲	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$
鮑勃	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$
卡羅爾	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$

如果所有的投票人都誠實的給出了自己心目中的排序，這些候選人的最終得分將會為${\displaystyle (a:3,b:6,c:7,d:2)}$，候選人${\displaystyle c}$將會以7分當選。

投票人	第一名	第二名	第三名	第四名
愛麗絲	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c}$
鮑勃	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$
卡羅爾	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$

可是如果愛麗絲選擇了策略性投票，提升了${\displaystyle b}$的順序，降低了${\displaystyle c}$的順序，那麼最終分數將會成為${\displaystyle (a:2,b:7,c:6,d:3)}$，這樣候選人${\displaystyle b}$將會以7票當選。對於愛麗絲而言，由於她對於${\displaystyle c}$而言更傾向於${\displaystyle b}$，因此這是一個比之前更好的結果。

由此可以看出，波達計數法是可操縱的，在某些情況下，誠實的給出排序並不能最好地捍衛選民的偏好。

吉巴德-薩特斯維特定理指出，每個投票規則都是可操縱的，除非有一位擁有獨裁權力的選民，或者只有兩種投票選擇。