艾狄胥等差數列猜想

艾狄胥等差數列猜想（英語：Erdős conjecture on arithmetic progressions），又稱艾狄胥-圖蘭猜想（英語：Erdős-Turán conjecture），是由兩位匈牙利數學家艾狄胥·帕爾（沃爾夫數學獎得主）與圖蘭·帕爾共同提出的數論猜想，稱倒數和發散的正整數集合中，必有任意長的等差數列。

提示：此條目的主題不是埃爾德什-圖蘭堆壘基猜想（英語：Erdős–Turán conjecture on additive bases），也不是埃爾德什-圖蘭不等式（英語：Erdős–Turán inequality）。

猜想內容

對正整數數列${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \}}$的任意子序列${\displaystyle \{A_{n}\}}$，若：

其所有元素的倒數和發散，即 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{A_{n}}}=\infty }$

則：

${\displaystyle \{A_{n}\}}$含有任意長度的等差子序列。

發展

1936年，艾狄胥與好友圖蘭提出了一個較弱的等差數列猜想，即：具有正密度的自然數子集含有無窮多長度為3的等差數列。^[1]

1952年，克勞斯·羅特證明了這個較弱版的猜想。

1975年，塞邁雷迪·安德烈在克勞斯·羅特證明的基礎上將這個較弱版本的猜想推廣為塞邁雷迪定理。

1976年，艾狄胥在一次紀念好友圖蘭的演講中提出了艾狄胥等差數列猜想，並懸賞5000美元給第一個證明此猜想的人。^[2]

2004年，本猜想的弱化版本，也是前述塞邁雷迪定理的推廣，格林-陶定理被本·格林（英語：Ben_Green_(mathematician)）和陶哲軒證明。^[3]

延伸閱讀

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35–58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007/BF02579174