增失根

增根（或偽解）是指通過問題求解過程產生，但並非原問題有效解的答案。而失根則是指本應存在的有效解在求解過程中丟失。這兩種情況通常源於對變量執行了不可逆的操作，導致邏輯推理鏈無法雙向成立。

增根

代數的基本原則之一，是在不改變方程式的解的情況下，用相同的式子乘以方程式的兩邊。然而，嚴格來說，這是不正確的，因為乘以相同的式子可能會產生原方程式沒有出現的解。下面是一個會產生增根的方程的例子：

${\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {2}{x}}}$

等式兩邊乘以${\displaystyle x^{2}}$，得

${\displaystyle x=2x}$

得${\displaystyle x=0}$

但將${\displaystyle x=0}$代入原方程中，得

${\displaystyle {\frac {1}{0}}={\frac {2}{0}}}$

此時，出現了分母為零的情況，所以這是一個增根，是等式兩邊乘以零所致。

失根

下面是一個可能失根的方程的例子：

${\displaystyle x^{2}=2x}$

運算時可能錯誤地將兩邊除以${\displaystyle x}$，得

${\displaystyle x=2}$

這個根固然是正確的，但忽略了另一個正確的根${\displaystyle x=0}$，是等式兩邊除以零所致。

相關條目

• 0
• 除以零
• 無效證明