對偶範數

對偶範數是數學中泛函分析里的概念。考慮一個賦范向量空間的對偶空間時，常常需要給對偶空間賦以合適的幾何架構。對偶範數是一種自然的賦范方式。

定義

對偶空間

主條目：對偶空間

給定一個係數域為${\displaystyle \mathbb {F} }$賦范向量空間（比如說一個巴拿赫空間）E（其中${\displaystyle \mathbb {F} }$通常是實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$或複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$），所有從E到${\displaystyle \mathbb {F} }$上的連續線性映射（也稱為連續線性泛函）的集合稱為E的（連續）對偶空間，記作：E' .

對偶範數

可以證明，E′是一個向量空間。其上可以裝備不同的範數。對偶範數（${\displaystyle \|\cdot \|'}$）是一種自然的範數定義方式，定義為：

${\displaystyle \forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}}$

由於E′中的元素的是連續線性泛函，所以按照以上定義的範數必然存在，是一個有限正實數。引進了對偶範數後，E′成為一個賦范線性空間。可以證明，E′在對偶範數下必然是完備的，所以E′是巴拿赫空間。

證明：

給定一個由E′中元素構成的柯西序列：${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，其中每一個${\displaystyle f_{n}}$都是E-線性泛函。由柯西序列的定義可知，

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,}$ 使得${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$

所以對E中任何元素x，都有：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.}$

這說明${\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }}$是柯西數列，因而收斂：數列的極限存在。定義函數${\displaystyle f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F} }$如下：

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

這樣定義的函數f 是連續線性泛函，屬於E′。事實上：

1. f 是線性映射：

   ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,}$

   ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}$

2. f 是連續映射：

   將${\displaystyle \epsilon }$定為1，則存在${\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} }$，使得${\displaystyle \forall n>N_{1}}$，都有${\displaystyle \|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1}$，這說明：

   ${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$ 因此，${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,}$ 都有${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$

   當${\displaystyle n}$趨向無窮大時，就有：${\displaystyle |f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1}$。這說明f 是連續映射。

最後證明f 是序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在對偶範數下的極限：

給定${\displaystyle \epsilon >0}$，總能找到${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,}$ 所以，${\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$

當${\displaystyle m}$趨向無窮大時，就有：${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .}$

因此，${\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .}$

這說明序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在對偶範數下收斂到f。所以E′是完備空間。

例子

給定兩個大於1的實數p和q。如果兩者滿足：${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，那麼序列空間${\displaystyle \ell ^{p}}$和${\displaystyle \ell ^{q}}$互相是對偶空間（在同構的意義上）。${\displaystyle \ell ^{p}}$裝備的是序列p-範數之時，它的對偶空間裝備的對偶範數可以和裝備了序列q-範數的${\displaystyle \ell ^{q}}$建立等距同構。當${\displaystyle p=q=2}$時，以上性質說明，${\displaystyle \ell ^{2}}$和自身對偶。

參見

參考來源