對數凸函數

對數凸函數^{[註解 1]}或超凸函數^[1]是指一函數f，其 ${\displaystyle {\log }\circ f}$（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，其原函數即為對數凸函數。

定義

令X是實數向量空間內的凸集，令f : X → R為非負值的函數。則f為：

• 對數凸函數若${\displaystyle {\log }\circ f}$為凸函數，
• 嚴格對數凸函數若${\displaystyle {\log }\circ f}$嚴格凸函數。

此處視${\displaystyle \log 0}$為${\displaystyle -\infty }$。

明顯可看出，f為對數凸函數若且唯若，針對所有x₁, x₂ ∈ X，以及所有t ∈ [0, 1]，以下二個等效的條件會成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

而f是嚴格對數凸函數若且唯若，在上述二個式子中，的小於等於都改為小於，在t ∈ (0, 1)範圍內都成立。

以上定義允許f等於零，但若f是對數凸函數，且在X內的任一處為零，則f需在X內部的所有位置都要為零。

等效條件

若f在定義在I ⊆ R區間的可微函數，則f為對數凸函數。若且唯若下式在所有I內的x和y都成立：

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

這和以下條件等效，只要x和y在I內，且x > y，則下式成立：

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

而且f是嚴格對數凸函數若且唯若上述的不等式中，均為嚴格的不等式。

若f是二次可微，則其為對數凸函數若且唯若，針對所有在I內的x，

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

若上述的不等式是嚴格不等式，則f是嚴格對數凸函數。不過，其反例不成立。有可能f是嚴格對數凸函數，且針對一些x，可以找到${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$。例如，若${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$，則f是嚴格對數凸函數，但${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$。

${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$為對數凸函數，若且唯若${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ 在所有${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$內都是凸函數^[2][3]。

充份條件

若${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$為對數凸函數，且${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$為非負實數，則${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$為對數凸函數。

若${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$是一個對數凸函數的族，則${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$是對數凸函數。

若${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$是凸函數，且${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$是非遞減的對數凸函數，則${\displaystyle g\circ f}$是對數凸函數。

性質

對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數${\displaystyle \exp }$及${\displaystyle \log \circ f}$（依定義是凸函數）的複合函數。但凸函數和對數的複合函數不一定都是凸函數。像${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$是凸函數，但${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$不是凸函數，因此${\displaystyle g}$不是對數凸函數。另一方面，${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$是對數凸函數，因為${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$是凸函數。

例子

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$是對數凸函數，若${\displaystyle p\geq 1}$，若${\displaystyle p>1}$，函數是嚴格對數凸函數。
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$，針對所有的${\displaystyle p>0.}$，在${\displaystyle (0,\infty )}$範圍內，是嚴格對數凸函數。
• 正數上的Γ函數是對數凸函數。（參見波爾-莫勒魯普定理（英語：Bohr–Mollerup theorem））。