等差-等比數列

在數學上，等差-等比數列（簡稱差比數列，英語：arithmetico-geometric sequence）是一個等差數列與一個等比數列相乘的積。

通項公式

等差-等比數列有如下通項公式：^[1]

${\displaystyle [a+(n-1)d]r^{n-1}}$

其中${\displaystyle r}$是公比，而${\displaystyle r^{n-1}}$的係數：

${\displaystyle [a+(n-1)d]}$

則是等差數列的項，其首項為${\displaystyle a}$，公差${\displaystyle d}$。

等差-等比數列的求和公式

等差-等比級數有如下形式；

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}=a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}$

其前n項之和為；

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}={\frac {a}{1-r}}-{\frac {[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}.}$

錯位相減法

由此級數開始：^[1][2]

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}$

將S_n乘以r，

${\displaystyle rS_{n}=ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}}$

S_n減去rS_n，

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(1-r)&=&\left\{a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right\}\\&&-\left\{ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right\}\\&=&a+\left[dr+dr^{2}+\cdots +dr^{n-1}\right]-[a+(n-1)d]r^{n}\\&=&a+\left[{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}\right]-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}}$

在中間的項中使用等比數列的求和公式。最後左右兩邊同除以(1 − r)，得到最終結果。

逐項求導

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}r^{k-1}={\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

對等比數列和兩邊求導：^[3]

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}(k-1)r^{k-2}={\frac {nr^{n-1}}{r-1}}-{\frac {r^{n}-1}{(r-1)^{2}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}+dr[{\frac {nr^{n-1}}{r-1}}-{\frac {r^{n}-1}{(r-1)^{2}}}]}$

裂項法

待定係數s,t使得等差-等比數列可以裂項：^[4]

${\displaystyle [a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^{k}-[s(k-1)+t]r^{k-1}}$

用裂項法可以求出數列和：

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^{n}-t}$

求出待定係數s,t關於a,d,r的表達式：

${\displaystyle dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s}$

${\displaystyle \displaystyle s={\frac {d}{r-1}},t={\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {d}{r-1}}n+{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]}$

差分算子公式

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0),f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)}$^[5]

其中${\displaystyle \Delta p(n)=p(n+1)-p(n)}$

求出各階差分：${\displaystyle p(n)=a+(n-1)d,\Delta p(n)=d}$

${\displaystyle \displaystyle f(n)={\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]}$

無窮級數

如果${\displaystyle -1<r<1}$，那麼其無窮級數為^[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}}$

如果${\displaystyle r}$在上述範圍之外，則該級數不是發散級數就是交錯級數。

參見

• 序列