希爾伯特轉換

在數學和訊號處理中，希爾伯特轉換（英語：Hilbert transform）是一個對函數 u(t) 產生定義域相同的函數 H(u)(t) 的線性算子。

希爾伯特轉換在訊號處理中很重要，能夠導出訊號 u(t) 的解析表示。這就意味着將實訊號 u(t) 拓展到複數平面，使其滿足柯西－黎曼方程。 例如，希爾伯特轉換引出了傅利葉分析中給定函數的調和共軛，也就是調和分析。等價地說，它是奇異積分算子與傅利葉乘子（英語：Multiplier (Fourier analysis)）的一個例子。

希爾伯特轉換最初只對週期函數（也就是圓上的函數）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的摺積。然而更常見的情況下，對於定義在實直線 R（上半平面的邊界）上的函數，希爾伯特轉換是指與柯西核摺積。希爾伯特轉換與帕利-維納定理（英語：Paley–Wiener theorem）有着密切的聯繫，帕利-維納定理是將上半平面內的全純函數與實直線上的函數的傅利葉轉換相聯繫起來的另一種結果。

希爾伯特轉換是以大衛·希爾伯特來命名的，他首先引入了該算子來解決全純函數的黎曼–希爾伯特問題的一個特殊情況。

希爾伯特轉換結果（紅色）與原來的訊號——方波（藍色）

定義

${\displaystyle u}$ 的希爾伯特轉換可以認為是 ${\displaystyle u(t)}$ 與函數 ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}}:=\delta (jt)}$ 的摺積。由於 ${\displaystyle h(t)}$ 是不可積的，定義摺積的積分不收斂。因而希爾伯特轉換是使用柯西主值（這裏記為${\displaystyle p.v.}$）定義的。準確說來，函數（或訊號） ${\displaystyle u(t)}$ 的希爾伯特轉換是：

${\displaystyle H(u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$

假設此積分作為主值存在。這就是 u 與緩增分佈 p.v. 1/πt 的摺積（由於Schwartz (1950)；參見Pandey (1996，Chapter 3)）。另外，通過改變變量，主值積分可以顯式地(Zygmund 1968，§XVI.1)寫為：

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau .}$

若希爾伯特轉換接連用在函數 u 上兩次，結果就是負 u：

${\displaystyle H(H(u))(t)=u(-t)}$

假設定義兩次迭代的積分都收斂。特別地，反轉換是 −H。可以通過考慮 u(t) 的傅利葉轉換的希爾伯特轉換效應看出這一事實（參見下面的與傅利葉轉換的關係）。

對上半平面的解析函數，希爾伯特轉換描述了邊界值的實部與虛部之間的關係。也就是說，如果 f(z) 是在 Im z > 0 平面內的解析函數，而 u(t) = Re f(t + 0·i )，假設希爾伯特轉換存在，則 Im f(t + 0·i ) = H(u)(t) 取決於一個相加性常數。

頻率響應

希爾伯特轉換之頻率響應由傅利葉變換給出：

${\displaystyle H(\omega )=(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot {\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,}$  

其中

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是傅利葉變換，
• i (有時寫作j )是虛數單位，
• ${\displaystyle \omega \,}$是角頻率，以及
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}\ \ 1,&{\mbox{for }}\omega >0,\\\ \ 0,&{\mbox{for }}\omega =0,\\-1,&{\mbox{for }}\omega <0,\end{cases}}}$

即為符號函數。

既然：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )}$,

希爾伯特轉換會將負頻率成分${\displaystyle s(t)\,}$偏移+90°，而正頻率成分偏移−90°。

反（逆）希爾伯特轉換

我們也注意到：${\displaystyle H^{2}(\omega )=1^{-}\,}$。因此將上面方程式乘上${\displaystyle -H(\omega )\,}$，可得到：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}$

從中，可以看出反（逆）希爾伯特轉換

${\displaystyle s(t)=(h*h*h*{\widehat {s}})(t)={\mathcal {H}}^{3}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}$