待定系數法

待定係數法是求某些非齊次常微分方程和遞推關係的特解的方法。它與微分算子方法密切相關，但不是使用特定類型的微分算子（annihilator）來找到特定解決方案的最佳可能形式，而是對適當的形式進行擬設或猜測，然後通過對所得方程進行微分來對其進行測試。對於複雜的方程式，零化器方法或參數變化的執行耗時較少。

待定係數不像參數變換法那樣普遍，因為它僅適用於遵循特定形式的微分方程。

方法

考慮以下形式的線性非齊次常微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

此處${\displaystyle y^{(i)}}$表示${\displaystyle y}$的第i個導數，${\displaystyle c_{i}}$表示${\displaystyle x}$的一個函數

待定係數法提供了一種在滿足兩個條件時獲得此ODE解的直接方法：^[1]

1. ${\displaystyle c_{i}}$是常量
2. g(x)是常數，多項式函數，指數函數${\displaystyle e^{\alpha x}}$,正弦或餘弦函數${\displaystyle \sin {\beta x}}$或${\displaystyle \cos {\beta x}}$（${\displaystyle {\alpha }}$，${\displaystyle {\beta }}$是常數）

該方法包括尋找一般齊次解是${\displaystyle y_{c}}$為互補線性齊次微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

和一個特定的積分是p基於線性非齊次常微分方程的${\displaystyle y_{p}}$。那麼一般的解決方法是y到線性非齊次常微分方程將是：

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$^[2]

如果${\displaystyle g(x)}$由兩個函數${\displaystyle h(x)+w(x)}$組成的和，我們說${\displaystyle y_{p_{1}}}$是基於${\displaystyle h(x)}$的解，${\displaystyle y_{p_{2}}}$是基於${\displaystyle w(x)}$的解。然後使用疊加原理，我們可以得到特定的積分${\displaystyle y_{p}}$是^[2]

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$