懸鏈線

懸鏈線（英語：catenary）是一種常用曲線，物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

不同的懸鏈線

鐵鏈形式的懸鏈線。

蜘蛛絲形成多個（近似的）懸鏈線。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨着吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推導出數學模型。

它的公式為：

${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}}$或者簡單地表示為${\displaystyle y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}}$

其中cosh是雙曲餘弦函數，${\displaystyle a}$ 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數，${\displaystyle x}$軸為其準線。具體來說，${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}}$，其中${\displaystyle g}$是重力加速度，${\displaystyle \lambda }$是線密度（假設繩子密度均勻），而${\displaystyle T_{0}}$是繩子上每一點處張力的水平分量，它取決於繩子的懸掛方式；若繩子兩端在同一水平面上，則下面的方程決定了${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}}$

其中L是繩子總長的一半，d是端點距離的一半。

方程的推導

表達式的證明

如右圖，設最低點${\displaystyle A}$處受水平向左的拉力${\displaystyle H}$，右懸掛點處表示為${\displaystyle C}$點，在${\displaystyle AC}$弧線區段任意取一段設為${\displaystyle B}$點，則${\displaystyle AB}$受一個斜向上的拉力${\displaystyle T}$，設${\displaystyle T}$和水平方向夾角為${\displaystyle \theta }$，繩子的質量為${\displaystyle m}$,受力分析有：

${\displaystyle T\sin \theta =mg}$；

${\displaystyle T\cos \theta =H}$，

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}}$，

${\displaystyle mg=\rho s}$，　其中${\displaystyle s}$是右段${\displaystyle AB}$繩子的長度，${\displaystyle \rho }$是繩子線重量密度，${\displaystyle \tan \theta }$為切線方向，記${\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}}$, 代入得微分方程${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as}$;

利用弧長公式${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x}$;

所以${\displaystyle s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x}$;

再把${\displaystyle s}$代入微分方程得${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)}$

對於${\displaystyle (1)}$設${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$微分處理

得 ${\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}$

其中${\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$;

對(2)分離常量求積分

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx}$

得${\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C}$，即${\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C}$

其中${\displaystyle \mathrm {arsinh} p}$為反雙曲函數;

當${\displaystyle x=0}$時，${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0}$；

帶入得${\displaystyle C=0}$；

整理得${\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}}$

工程中的應用

懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應用，${\displaystyle a}$稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法，會給工程應用帶來很大幫助，公式及圖像如下：

${\displaystyle y=a\ \left(\cosh {\frac {x}{a}}-1\right)}$

還有以下幾個公式，可能也有用：

${\displaystyle L=a\ \sinh {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \tan \alpha =\sinh {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle F_{0}=a\ \gamma }$

其中${\displaystyle L}$是曲線中某點到0點的鏈索長度，${\displaystyle \alpha }$是該點的正切角，${\displaystyle F_{0}}$是0點處的水平張力，${\displaystyle \gamma }$是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。

參考資料

外部連結