拉普拉斯逆轉換

在數學中，函數${\displaystyle F(s)}$的拉普拉斯逆轉換是一個分段連續的實函數${\displaystyle f(t)}$，滿足如下性質：

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$表示拉普拉斯轉換。

可以證明：如果函數${\displaystyle F(s)}$具有拉普拉斯逆轉換${\displaystyle f(t)}$，則${\displaystyle f(t)}$唯一（考慮在勒貝格測度為零的點集上彼此不同的函數）。這個定理由馬提亞·萊奇於1903年首先證明，因而稱之為萊奇定理。^[1][2]

因其具有的許多性質，正反拉普拉斯轉換在線性動態系統的分析中頗有可為。

梅林反演公式

拉普拉斯逆轉換的積分形式，稱為梅林反演公式（英語：Mellin's inverse formula）、布羅米奇積分或傅立葉-梅林積分，由線積分定義：

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

積分路徑是複數平面中的垂線${\displaystyle Re(s)=\gamma }$，其中${\displaystyle \gamma }$大於${\displaystyle F(s)}$所有奇異點的實部，且${\displaystyle F(s)}$在積分路徑上有界（例如積分路徑位於${\displaystyle F(s)}$收斂域內）。當所有奇異點位於左半平面內，或${\displaystyle F(s)}$是整函數時，可以將${\displaystyle \gamma }$置零，此時上述積分退化為傅立葉逆轉換。

在實踐中，復積分的計算可以通過柯西留數定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯逆轉換的微分形式，稱為珀斯特反演公式（英語：Post's inversion formula），以數學家埃米爾·珀斯特 (Emil Post)命名， ^[3]是一個看似簡便但並不常用的拉普拉斯逆轉換計算公式。

公式表述如下：設${\displaystyle f(t)}$為區間[0, +∞) 的指數階函數，存在實數b ，使${\displaystyle f(t)}$滿足：

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }$

則對於任意${\displaystyle s>b}$，${\displaystyle f(t)}$的拉普拉斯轉換均存在且對於s無限可微。設${\displaystyle F(s)}$是${\displaystyle f(t)}$的拉普拉斯轉換，則${\displaystyle f(t)}$可由下式定義：

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

其中${\displaystyle t>0}$，${\displaystyle F^{(x)}}$是${\displaystyle F}$對${\displaystyle s}$的k階導數。

分析公式可以看出，該方法需要計算函數${\displaystyle F(s)}$的任意高階導數，這在大多數應用場景下並不現實。

隨着個人電腦的出現，該公式主要用於處理拉普拉斯逆轉換的近似或漸近分析，及通過格倫瓦爾德-萊特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微積分計算導數。

隨着計算科學的進步，珀斯特反演公式引起了人們興趣，由於其不需要${\displaystyle F(s)}$的具體極點坐標，通過數次逆梅林轉換，可能實現對黎曼猜想的漸近分析。

軟件工具

• InverseLaplaceTransform （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）：在Mathematica中求拉普拉斯逆轉換的解析解
• 使用 Mathematica 中的複數域對拉普拉斯轉換進行多精度數值反演 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）^[4]
• ilaplace （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）：在MATLAB中求拉普拉斯逆轉換的解析解
• Matlab 中拉普拉斯轉換的數值反演
• Matlab中基於集中矩陣指數函數的拉普拉斯轉換數值反演 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

相關條目

• 傅立葉轉換
• 泊松求和公式