拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是以法國數學家約瑟夫·拉格朗日命名，為羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

內容

文字敍述

如果函數${\displaystyle f(x)}$滿足：

1. 在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上連續;
2. 在開區間${\displaystyle (a,b)}$內可微分;

則${\displaystyle \exists \xi ,\;a<\xi <b}$，使${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$。

證明

拉格朗日中值定理的幾何意義：函數${\displaystyle f(x)}$在點${\displaystyle \xi }$處的切線，平行於${\displaystyle f(a)}$和${\displaystyle f(b)}$兩點之間的連線。

令${\displaystyle g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)}$。那麼

1. ${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上連續，
2. ${\displaystyle g}$在${\displaystyle (a,b)}$上可微（導），
3. ${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$。由羅爾定理，存在至少一點${\displaystyle \xi \in (a,b)}$，使得${\displaystyle g'(\xi )=0}$。即${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$。

其他形式

1.${\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1}$;

2. ${\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1}$. 或 ${\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1}$.

另請參見

• 中值定理