普朗特-邁耶函數

普朗特－邁耶函數（英語：Prandtl–Meyer function）是氣體動力學中的一個函數，其值為一個角度，音速流（M = 1）繞外凸角轉過該角度可以達到指定馬赫數。對理想氣體而言，普朗特－邁耶函數的表達式為

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\\\end{aligned}}}$

不同熱容比下的普朗特－邁耶函數。虛線表示馬赫數趨向於無窮大時的${\displaystyle \nu _{\text{max}}}$。

其中 ${\displaystyle \nu }$ 表示普朗特－邁耶函數，${\displaystyle M}$ 表示馬赫數，${\displaystyle \gamma }$ 則表示熱容比。

習慣上，馬赫數為1時的積分值 ${\displaystyle \nu (1)}$ 會取為0。

馬赫數的取值範圍為1至${\displaystyle \infty }$，函數值的範圍則為0到 ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$，其中

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}}$

對於等熵流動，初態與終態的馬赫數${\displaystyle M_{1}}$與${\displaystyle M_{2}}$與該流動轉過的角度${\displaystyle \theta }$之間的關係式為：

• 等熵膨脹：${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,}$
• 等熵壓縮：${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,}$

參見

• 普朗特－邁耶膨脹扇

參考文獻

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. Elements of Gasdynamics. Dover Publications. 2001 [1957]. ISBN 0-486-41963-0.