枚舉幾何

枚舉幾何是代數幾何的一個分支，主要用相交理論計算幾何問題的解的數量。

歷史

阿波羅尼奧斯圓

阿波羅尼奧斯問題是枚舉幾何最早的例子之一。這個問題要求找出與3個給定圓、點或與線相切的圓的數量和構造。一般來說，3個給定圓的問題有8個解，可以看做是2³個解，每個相切條件都對圓的空間施加了二次條件。然而，對於給定圓的特殊排列，解的數目也可能是0（無解）到6之間的任意整數；沒有任何一種排列有7個解。

核心工具

從初級到高級的工具包括：

• 余維數
• 貝祖定理
• 舒伯特積分，以及上同調中的示性類
• 交點計數與上同調的聯繫源於龐加萊對偶性
• 曲線、映射等幾何對象的模空間的研究，有時通過量子上同調進行。量子上同調、格羅莫夫-威滕不變量和鏡像對稱的研究在克萊門斯猜想中取得了重大進展。

枚舉幾何與相交理論關係密切。

舒伯特積分

19世紀末，枚舉幾何在赫爾曼·舒伯特手中得到了驚人的發展，^[1]他為此引入了舒伯特積分，其在更廣泛的領域具有基本的幾何與拓撲學價值。直到1960、70年代，枚舉幾何的特殊需求才得到進一步關注（如Steven Kleiman指出的）。相交數已有嚴格定義（安德烈·韋伊作為其基礎課程1942–6,^[2]的一部分提出），但這並沒有窮盡枚舉問題的基本領域。

修正因子與希爾伯特第15問題

正如下面的例子所示，天真地應用維數計數與貝祖定理會產生錯誤結果。為解決這些問題，代數幾何學家引入了模糊的「修正因子」，幾十年後才有嚴格證明。

例如，計與射影平面中5條給定直線相切的圓錐曲線之數。^[3]它們構成維數為5的射影空間，其6個係數作為齊次坐標。若5個點處於一般的線性位置（穿過給定點會帶來線性條件），就可以確定一條圓錐曲線。同樣，與給定直線L相切（即相交，倍數為2）是個二次條件，於是${\displaystyle P^{5}}$中確定了二次曲面。但由所有此類二次曲面構成的除子線性系統並非沒有基軌；事實上，每個此種二次曲面都包含委羅內塞面，參數化了圓錐曲線

${\displaystyle (aX+bY+cZ)^{2}=0}$

稱作「雙線」。這是因為，雙線與平面的每條直線都相交（因為射影平面中的直線都相交），由於是二次所以倍數為2，從而滿足與直線相切的非退化圓錐相同的交點條件。

據一般貝祖定理，5維空間中的5個一般二次曲面將有${\displaystyle 32=2^{5}}$個交點，其中的相關二次曲面不在一般位置上。必須要從32中減去31，將其歸入委羅內塞面，才能得到（幾何角度的）正確答案：1。這種將交點歸為「退化」情形的過程是典型的幾何「修正因子」。

希爾伯特第十五問題便是要克服這些干涉的明顯的任意性：這方面超出了舒伯特積分本身的基礎問題。

克萊門斯猜想

1984年，赫伯特·克萊門斯研究了5次3維流形${\displaystyle X\subset P^{4}}$上的有理曲線計數，提出以下猜想：

正整數${\displaystyle d}$，則在一般5次3維流形${\displaystyle X\subset P^{4}}$上只有有限多條度為${\displaystyle d}$的有理曲線。

此猜想${\displaystyle d\leq 9}$的情形已有證明。

1991年，論文^[4]從弦論角度討論了${\displaystyle P^{4}}$中5次3維流形的鏡像對稱，給出了在所有${\displaystyle d>0}$下${\displaystyle X}$上度為${\displaystyle d}$的有理曲線的數量。這之前代數幾何學家只能計算${\displaystyle d\leq 5}$的情況。

例子

代數幾何中，歷史上重要的枚舉幾何例子包括：

• 2 空間中4條一般直線相交的直線數
• 8 與3個一般圓相切的圓數（阿波羅尼奧斯問題）
• 27 光滑三次曲面上的直線數（喬治·薩蒙、阿瑟·凱萊）
• 2875 一般5次3維流形上的直線數
• 3264 與一般位置的5條平面圓錐相切的圓錐曲線數 (米歇爾·沙勒）
• 609250 一般5次3維流形上的圓錐曲線數
• 4407296 與8個一般二次曲面相切的圓錐曲線數Fulton (1984，p. 193)
• 666841088 3維空間中與9個一般位置的給定二次曲面相切的二次曲面數(Schubert 1879，p.106) (Fulton 1984，p. 193)
• 5819539783680 3維空間中與12個一般位置的給定二次曲面相切的扭曲三次曲面數(Schubert 1879，p.184) （S. Kleiman, S. A. Strømme & S. Xambó 1987）