機率母函數

在機率論裏,一個離散隨機變量的機率母函數是指該隨機變量的機率質量函數的冪級數表達式。

定義

單變數情形

如果 ${\displaystyle X}$ 是在非負整數體${\displaystyle \{0,1,...\}}$上取值的離散隨機變量，那麼${\displaystyle X}$的機率母函數定義為 ^[1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的機率質量函數。

多變數情形

如果 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$ 是在d-非負整數格${\displaystyle \{0,1,\ldots \}^{d}}$上取值的離散隨機變量，那麼${\displaystyle X}$的機率母函數定義為

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的機率質量函數。