沃爾什矩陣

沃爾什矩陣（英語：Walsh matrix）是一個維度為${\displaystyle 2^{n}}$的方陣，其中n為自然數。該矩陣由-1和1組成，其所有的行與列都兩兩正交，即點積為0。這一概念由美國數學家約瑟夫·L·沃爾什於1923年提出，故而得名。^[1]在沃爾什矩陣中，每一行都和一個沃爾什函數相對應。

16階的沃爾什矩陣與一個向量相乘

自然序的阿達瑪矩陣排列成單調變化的阿達瑪矩陣。自然序矩陣中每行符號變化的次數為(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10)，但是在單調順序矩陣中，符號變化的次數是單調的

沃爾什矩陣出現在損壞的TIFF圖像中

沃爾什矩陣可視為阿達馬矩陣的一個特例，自然有序的阿達馬矩陣是由遞歸公式定義的，序列有序的阿達馬矩陣是通過重新排列行來形成的，這樣一行中的符號變化數就是遞增的。^[1]

沃爾什矩陣用於計算沃爾什變換，在信號處理操作中的有實際應用。

公式

維度為${\displaystyle 2^{k}}$（其中${\displaystyle k\in N}$）的阿達馬矩陣可由遞推的方式進行定義：

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

一般而言

${\displaystyle H\left(2^{k}\right)={\begin{bmatrix}H\left(2^{k-1}\right)&H\left(2^{k-1}\right)\\H\left(2^{k-1}\right)&-H\left(2^{k-1}\right)\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),}$

其中${\displaystyle 2\leq k}$且${\displaystyle k\in N}$，⊗代表克羅內克積。

排列

根據符號變化的次數對所有的行進行重新排列。例如：

${\displaystyle H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}}$

每行分別有0、3、1、2次符號變化，因此，我們對這些行進行重排：

${\displaystyle W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

這樣，每行都有0、1、2、3次符號變化。

沃爾什矩陣的替代形式

順序排序

沃爾什矩陣的行順序可以通過阿達馬矩陣首先經過位序顛倒排列，然後經過格雷碼排列得到：^[2]

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

其中每行分別有0、1、2、3、4、5、6、7次符號改變。