泊里雅科夫作用量

在物理學中， 泊里雅科夫作用（Polyakov action）是二維共形場論的作用量，它描述了弦理論中的世界面。斯坦利·德賽爾和布魯諾·朱米諾發現了這個作用量，但是這個作用量以亞歷山大·泊里雅科夫的名字命名，因為他將這個作用量應用於弦理論（Quantum geometry of the bosonic string, Physics Letters B, 103, 1981, p. 207；玻色弦的量子幾何）。泊作用量是

${\displaystyle {\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )}$

${\displaystyle T}$ 是弦的張力，${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ 是目標流形的度量張量，${\displaystyle h_{ab}}$ 是世界面的距離函數，${\displaystyle h^{ab}}$ 是反函數，以及 ${\displaystyle h=\det(h_{\alpha \beta })}$ 。S也是一個非線性σ模型。^[1]

對稱性

通過下面的變換，S是不變量：

• 龐加萊群（全球）
• 世界面微分同胚（局部）
• Weyl變換（局部）
• 共形變換（共形場論）

與南部-後藤作用量的關係

壓力-能量張量是

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0}$

度量張量 ${\displaystyle h^{ab}}$的歐拉–拉格朗日方程是

${\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}}$

而且

${\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}}$

所以

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)}$

其中 ${\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}$ 。則

${\displaystyle T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0}$

${\displaystyle G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}}$

${\displaystyle G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}}$

若使用

${\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}}$

則S成為南後作用量：

${\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}}$

因為S是線性的，P作用的量子化過程比較容易。

參見

• D膜
• 愛因斯坦–希爾伯特作用量