漸近展開

在漸近分析中，一個函數的漸近展開^[1]被定義為一個函數級數（通常是柯西發散的），該級數的每一個部分和都給出該函數的一個漸近表達式。

形式定義

下面的定義中用到小 o 表示法。

設 {φ_n(z)} 為一個函數序列，{a_n} 為一個數列，f(z) 是一個函數，若

${\displaystyle f(z)-\sum _{n=0}^{m}a_{n}\phi _{n}(z)=o(\phi _{m}(z)),\quad z\rightarrow z_{0},\forall m\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$

則稱級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(z)}$

為 f(z) 在 z=z₀ 點處的漸近級數。記作

${\displaystyle f(z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(z),\quad z\rightarrow z_{0}}$

與一般級數展開的區別

粗略來說，漸近級數與一般的級數展開（例如泰勒級數）的區別在於，漸近級數是 z 越接近 z₀，部分和越接近被展開的函數，而泰勒級數等則是 z 點固定，取的項數越多結果越接近被展開的函數。

另外一個重要的區別是，漸近展開常常需要對宗量有額外的限制，例如輻角的限制。

除此之外，一個函數在一點的泰勒展開表達式唯一地確定了以該點為中心的收斂圓內函數的形式，而漸近級數則不然，詳見下一小節的討論。

漸近展開的唯一性

在一定的輻角範圍內，給定了 {φ_n(z)} 的具體形式後，一個函數 f(z) 漸近展開的表達式是唯一的，即係數序列 {a_n} 是唯一的。這是因為係數序列可以由下面的關係完全確定：

${\displaystyle a_{m}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {1}{\phi _{m}(z)}}\left[f(z)-\sum _{n=0}^{m-1}a_{n}\phi _{n}(z)\right]}$

但是反過來，兩個不同的函數 f(z) 與 g(z) 在同一個點 z₀ 處可以有同樣的漸近展開，事實上，設函數 φ_∞(z) 滿足：

${\displaystyle \phi _{\infty }(z)=o(\phi _{m}(z)),\quad z\rightarrow z_{0},\forall m\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$

則顯然 f(z) 與 f(z)+φ_∞(z) 在同一個點 z₀ 處有同樣的漸近展開。

漸近冪級數

在漸近展開中最常用的是漸近冪級數，它定義為

${\displaystyle \phi _{n}(z)={\begin{cases}z^{-n}&z_{0}=\infty \\(z-z_{0})^{n}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

一些例子

伽瑪函數：

${\displaystyle {\frac {e^{z}}{z^{z}{\sqrt {2\pi z}}}}\Gamma (z+1)\sim 1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-\cdots ,\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<\pi }$

漢克爾函數：

${\displaystyle \exp \left[i\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\nu \pi }{2}}-z\right)\right]{\sqrt {\frac {\pi z}{2}}}H_{\nu }^{(1)}(z)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\prod _{n=1}^{k}(4\nu ^{2}-(2n-1)^{2})}{2^{3k}k!}}z^{-k},\quad z\rightarrow \infty ,-\pi <\arg z<2\pi }$

第二類合流超幾何函數：

${\displaystyle z^{a}U(a,b,z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(a)^{(n)}(a-b+1)^{(n)}(-z)^{-n},\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}$

式中用到了升階乘的 Pochhammer 記號。