皮卡德群

提示：此條目的主題不是Picard modular group。

數學中，環空間X的皮卡德群，是在X上可逆層（或線叢）的同構類組成群，記作${\displaystyle Pic(X)}$。此群的群運算為張量積。這個群的構造理念是構造因數(除子)類群或理想類群的廣域(global)版本, 這種構造在代數幾何和複流形理論中廣泛使用。

此外，皮卡德群也可以定義為層上同調群

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

對於積分概形, 皮卡德群同構於Cartier 因數的類群。對於複流形，指數層級數能給出對應的皮卡德群的基本信息。

因為皮卡德在代數曲面上的因數的相關研究, 這個群以他命名。

例子

• 一個戴德金整環的譜的皮卡德群是這個戴爾金整環的理想類群。
• 如果${\displaystyle K}$ 是一個域，那麼其射影空間 ${\displaystyle P^{n}(K)}$上的可逆層是扭轉層${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$所以${\displaystyle P^{n}(K)}$的皮卡德群同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$。
• 在${\displaystyle K}$上有兩個原點的仿射線的皮卡德群同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$。
• ${\displaystyle n}$維復仿射空間的皮卡德群： ${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$。因為指數序列正好生成了以下上同調的長序列

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

並且因為${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ^[1]

因為${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$是可收縮的 所以我們可以得出 ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$，那麼${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$

由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下結論, 可以應用Dolbeault 同構來計算:${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

皮卡德概形

我們可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上構造概形結構，即皮卡德概形，是代數幾何中的重要工具，特別是在阿貝爾簇的對偶理論中。這種方法由Grothendieck (1962)構建，並由Mumford (1966)和Kleiman (2005)描述。

相關條目

• 層上同調
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