示性函數 (凸分析)

在數學領域的凸分析中，集合的「示性函數」為凸函數，用於表示給定元素是否為該集合的成員（或非成員）。儘管與常規示性函數定義相似，兩者也可以相互轉換，但根據如下定義的示性函數更適應於凸分析的方法。

定義

假設 ${\displaystyle A}$ 為集合 ${\displaystyle X}$ 的子集。 ${\displaystyle A}$ 的 「示性函數」

${\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

在擴展實數線上的值定義為

${\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

與指示函數的關係

令 ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R} }$ 為一般指示函數：

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}}$

若採用如下約定

• 對於任意${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$， ${\displaystyle a+(+\infty )=+\infty }$ 以及 ${\displaystyle a(+\infty )=+\infty }$；
• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=+\infty }$；且
• ${\displaystyle {\frac {1}{+\infty }}=0}$；

那麼，指示函數與示性函數滿足如下關係

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}}$

同時，

${\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).}$

參考文獻

• Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.