諾頓穹頂

諾頓穹頂（英語：Norton's dome）是一個思想實驗，它展示了在牛頓力學框架內存在一個非決定論的系統。它由約翰·丹尼爾·諾頓（英語：John D. Norton）於2003年提出，^[1][2]是桑賈伊·巴特和丹尼斯·伯恩斯坦在1997年給出的一類更一般示例的一個特殊極限情形。^[3]諾頓穹頂可以被視為一個物理學、數學和哲學問題。^[4][5][6][7]

諾頓穹頂的橫截面，其中${\displaystyle h}$和${\displaystyle x}$的單位為${\displaystyle 2g^{2}/(3b^{4})}$

描述

該模型包括一個理想化的質點，其最初靜置於一個理想化的、徑向對稱且無摩擦的穹頂頂點上。穹頂的形狀由以下方程描述：^[6][7]

$${\displaystyle h={\frac {2b^{2}}{3g}}r^{3/2},\quad 0\leq r<{\frac {g^{2}}{b^{4}}}}$$

其中，${\displaystyle h}$表示從圓頂頂點到圓頂上某一點的垂直位移，${\displaystyle r}$是從頂點到該點的測地距離（換句話說，即在圓頂表面上「刻畫」的徑向坐標${\displaystyle r}$），${\displaystyle g}$是重力加速度，${\displaystyle b}$是比例常數。^[6]

根據牛頓第二定律，位於無摩擦表面上的質點，其切向加速度分量為${\displaystyle a_{\parallel }=b^{2}{\sqrt {r}}}$，^[6]由此可得該質點的運動方程：

$${\displaystyle {\ddot {r}}=b^{2}{\sqrt {r}}.}$$

運動方程的解

諾頓指出，這個方程存在兩類數學解。第一類中，質點會永遠停留在圓頂頂點上，其解為：

$${\displaystyle r(t)=0.}$$

第二類中，質點會在圓頂頂點停留一段時間，然後在任意時刻${\displaystyle T}$之後，開始沿任意方向滑下圓頂。其解為：^[1]

$${\displaystyle r(t)={\begin{cases}0&t\leq T,\\[4pt]{\frac {1}{144}}[b(t-T)]^{4}&t>T.\end{cases}}}$$

重要的是，這兩種情況都是以下初值問題的解：

$${\displaystyle {\ddot {r}}=b^{2}{\sqrt {r}},\quad r(0)=0,\quad {\dot {r}}(0)=0.}$$

因此，在牛頓力學框架下，這個問題的解是不確定的。換句話說，在相同的初始條件下，質點可能會有多種不同的運動軌跡。這一悖論表明，牛頓力學體系中可能存在非決定性。

要驗證這些運動方程在物理上都是可能的解，可以利用牛頓力學的時間可逆性（英語：Time reversibility）。我們可以設想將一個小球沿圓頂滾上去，使它在有限時間內到達頂點，並且在到達時動能為零，從而停在那裏。根據時間反演原理，小球在頂點停留一段時間後再沿任意方向滾下，也同樣是一個有效的解。

然而，將同樣的推理應用於常見類型的圓頂（例如半球面）時就行不通了，因為如果小球以恰好能到達頂點並停在那裏的能量發射，它實際上需要無限的時間才能到達頂點。^[8]

需要注意的是，在第二種情況下，質點似乎是在沒有任何原因、也沒有受到來自其他物體的徑向力的情況下開始運動的，這顯然違背了物理直覺和通常的因果概念。然而，這種運動依然完全符合牛頓運動定律的數學形式，因此不能被排除為不符合物理規律的情況。

悖論的可能解決

儘管諾頓的這一思想實驗受到了許多批評，例如認為它違反了利普希茨連續性原理（牛頓第二定律中出現的力並不是質點軌跡的利普希茨連續函數——這使得可以繞過常微分方程解的局部唯一性定理）、違反了物理對稱性原理，或者在某種意義上「不符合物理」，但批評者之間對於為何認為它無效並沒有形成一致意見。^[9]

另見

• 非決定論

• 自發對稱破缺

• 布里丹之驢