質數間隙

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為g_n 或g(p_n)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

質數間隙的頻率分布。

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由質數間隙組成的數列(g_n) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定義，可得g_n 及第n+1個質數的關係式如下：

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}$ .

張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅納德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲軒發起的Polymath計劃將這數字降到246。^[1]

簡單觀察

第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g₂ 及g₃ 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

${\displaystyle P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)}$

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得g_n ≥ P。（可選定n，使得p_n為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨着數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。

實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。

孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 g_n = 2。

數值結果

一般將${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$給稱作${\displaystyle g_{n}}$的努力值（merit）。非正式地，一個質數間隙${\displaystyle g_{n}}$的努力值可視為一個質數間隙和${\displaystyle p_{n}}$附近的平均間隙大小之間的比值。

目前最大的、和一個可能質數相關的間隙，其大小為16,045,848，和一個385,713位的可能質數有關，而其努力值${\displaystyle M=18.067}$。這數由Andreas Höglund在2024年3月發現。^[2]而最大的和確認的質數相關的質數間隙，其大小為1,113,106，努力值為25.90，和一個18,662位的質數有關，發現者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。^[3][4]

截至2022年9月 (2022-09)^[update]為止，已知最大的及第一個超過40的努力值由Gapcoin網絡所發現，其數值為41.93878373，和一個87位的質數有關​，這個質數和下一個質數之間的間隙的大小為8350。^[5][6]

截至2020年10月年 (2020年10月-Missing required parameter 1=month!)^[update]為止最大已知的努力值^[5][7][8][9]

努力值	${\displaystyle g_{n}}$	位數	${\displaystyle p_{n}}$	日期	發現者
41.938784	08350	0087	見上	2017	Gapcoin
39.620154	15900	0175	3483347771 × 409#/0030 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38.066960	18306	0209	0650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38.047893	35308	0404	0100054841 × 953#/0210 − 9670	2020	Seth Troisi
37.824126	08382	0097	0512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen

Cramér–Shanks–Granville比值指的是${\displaystyle g_{n}/(\ln {p_{n}})^{2}}$這個比值。^[5]若不計2、3及7的異常高的值的話，那目這比值已知最大的數值是1693182318746371的0.9206386。其他已知的數值可見A111943。

若對於所有的${\displaystyle m<n}$而言，都有${\displaystyle g_{m}<g_{n}}$，則稱${\displaystyle g_{n}}$是最大間隙。截至2024年10月 (2024-10)^[update]，已知最大的最大間隙其值是1676，發現者為Brian Kehrig。這是第83個最大間隙，出現於20733746510561442863這質數之後。^[10]

其他已知的最大間隙可見於A005250，而與之相關的質數${\displaystyle p_{n}}$可見於A002386，相關的n則可見於A005669。目前猜想，不大於第n個質數的最大間隙組成的數列大約有${\displaystyle 2\ln n}$ 項。^[11]

83個已知的最大質數間隙

從1至28 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1,129 10 34 1,327 11 36 9,551 12 44 15,683 13 52 19,609 14 72 31,397 15 86 155,921 16 96 360,653 17 112 370,261 18 114 492,113 19 118 1,349,533 20 132 1,357,201 21 148 2,010,733 22 154 4,652,353 23 180 17,051,707 24 210 20,831,323 25 220 47,326,693 26 222 122,164,747 27 234 189,695,659 28 248 191,912,783

從29至56 # gn pn 29 250 387,096,133 30 282 436,273,009 31 288 1,294,268,491 32 292 1,453,168,141 33 320 2,300,942,549 34 336 3,842,610,773 35 354 4,302,407,359 36 382 10,726,904,659 37 384 20,678,048,297 38 394 22,367,084,959 39 456 25,056,082,087 40 464 42,652,618,343 41 468 127,976,334,671 42 474 182,226,896,239 43 486 241,160,624,143 44 490 297,501,075,799 45 500 303,371,455,241 46 514 304,599,508,537 47 516 416,608,695,821 48 532 461,690,510,011 49 534 614,487,453,523 50 540 738,832,927,927 51 582 1,346,294,310,749 52 588 1,408,695,493,609 53 602 1,968,188,556,461 54 652 2,614,941,710,599 55 674 7,177,162,611,713 56 716 13,829,048,559,701

從57至83 # gn pn 57 766 19,581,334,192,423 58 778 42,842,283,925,351 59 804 90,874,329,411,493 60 806 171,231,342,420,521 61 906 218,209,405,436,543 62 916 1,189,459,969,825,483 63 924 1,686,994,940,955,803 64 1,132 1,693,182,318,746,371 65 1,184 43,841,547,845,541,059 66 1,198 55,350,776,431,903,243 67 1,220 80,873,624,627,234,849 68 1,224 203,986,478,517,455,989 69 1,248 218,034,721,194,214,273 70 1,272 305,405,826,521,087,869 71 1,328 352,521,223,451,364,323 72 1,356 401,429,925,999,153,707 73 1,370 418,032,645,936,712,127 74 1,442 804,212,830,686,677,669 75 1,476 1,425,172,824,437,699,411 76 1,488 5,733,241,593,241,196,731 77 1,510 6,787,988,999,657,777,797 78 1,526 15,570,628,755,536,096,243 79 1,530 17,678,654,157,568,189,057 80 1,550 18,361,375,334,787,046,697 81 1,552 18,470,057,946,260,698,231 82 1,572 18,571,673,432,051,830,099 83 1,676 20,733,746,510,561,442,863

更多結果

上界

1852年得到證明的伯特蘭-切比雪夫定理顯示，在${\displaystyle k}$跟${\displaystyle 2k}$之間，總有一個質數，特別地，${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$，因此${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$。

1896年得證的質數定理顯示說對足夠大的質數而言，一個質數${\displaystyle p}$和下一個質數之間的間隙，會非病態地接近${\displaystyle \ln {p}}$，也就是${\displaystyle p}$的自然對數，而實際的質數間隙可能遠大或遠小於此；

然而我們可以從質數定理推出說質數間隙跟質數的比會變得任意小，如下式所示：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

以極限的定義來說，對於任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，存在一個數${\displaystyle N}$，使得對於所有的${\displaystyle n>N}$而言，有

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$

基多·何海賽爾（英語：Guido Hoheisel）在1930年首次證明了^[12]以下的非線性關係，他證明了說，存在一個常數${\displaystyle \theta <1}$，使得下式成立：

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

由此他證明了，對於足夠大（英語：sufficiently large）的n，有以下關係：

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta }}$

何海賽爾證明說${\displaystyle \theta }$小於等於32999/33000；之後海爾布龍（英語：Hans Heilbronn）將之給改進到249/250；^[13]而胡打科夫（英語：Nikolai Chudakov）證明了說對於任意的${\displaystyle 0<\varepsilon }$而言，${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$。^[14]

一個主要的改進由英厄姆（英語：Albert Ingham）做出，^[15]他證明了說存在一個正的常數${\displaystyle c}$，使得下式成立：

if ${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$ then ${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$ for any ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

此處，${\displaystyle O}$代表大O符號，${\displaystyle \zeta }$代表黎曼ζ函數，而${\displaystyle \pi }$是質數計數函數。由於${\displaystyle {\frac {1}{6}}<c}$是可行的數之故，因此可知${\displaystyle \theta }$可以是任何大於${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$的數。

英厄姆結果的一個立即的推論是，在n足夠大時，在${\displaystyle n^{3}}$及${\displaystyle (n+1)^{3}}$之間總有一個質數；^[16]而從林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式對於任意正數${\displaystyle c}$都成立；然而這兩者都不足以推出勒讓德猜想，也就是在${\displaystyle n^{2}}$及${\displaystyle (n+1)^{2}}$之間總有一個質數這猜想。要證明這點，像是克拉梅爾猜想等更強的結果會是必要的。

赫胥黎（英語：Martin Huxley）在1972年證明說，${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}=0.583\cdots }$是可能的。^[17]

貝克、哈曼（英語：Glyn Harman）和平茨（匈牙利語：Pintz János）在2001年正明說${\displaystyle \theta \cdots }$可以縮小到0.525。^[18]

上述的結果適用於「所有的」間隙，而人們對「最小的」間隙也感興趣。孿生質數猜想說，有無限多的質數，其間隙為2。在2005年，Goldston（英語：Daniel Goldston）、Pintz（英語：János_Pintz）和Yildirim（英語：Cem Yıldırım）三氏證明了以下關係：

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

兩年後他們又將之改進如下：^[19] to

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

2013年，張益唐證明了以下關係：

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

這表示說，有無限多的質數間隙，其大小不超過七千萬。^[20]之後Polymath計劃（英語：Polymath Project）的集體努力，在2013年7月20日，將張益唐界限給降到了4680。^[1]

在2013年11月，詹姆斯·梅納德改進了GPY篩法，並以之將上界給降到600，並證明了說兩個彼此間隔${\displaystyle m}$個質數的質數，其間隙有上限。也就是說，對於任意的正整數${\displaystyle m}$，總存在一個界限${\displaystyle \Delta _{m}}$，使得對於無窮多的n而言，${\displaystyle p_{n+m}-p_{n}\leq \Delta _{m}}$。^[21]利用梅納德的想法，Polymath計劃將上界給降到了246，^[1][22]並證明了說在假定埃利奧特–哈爾伯斯坦猜想（英語：Elliott–Halberstam conjecture）和其推廣的狀況下，分別可將上界給降到12和6。^[1]

下界

1931年，埃里克·韋斯欽蒂烏斯（Erik Westzynthius）證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

羅伯特·亞歷山大·蘭金（英語：Robert Alexander Rankin）在1938年改進了韋斯欽蒂烏斯和艾狄胥·帕爾的結果，證明了說存在一個常數${\displaystyle c>0}$，使得以下不等式對無限多個n成立：

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

之後他又證明了說上式對任何的${\displaystyle c<e^{\gamma }}$都成立，其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。常數${\displaystyle c}$的值在1997年改進至${\displaystyle c<2e^{\gamma }}$。^[23]

艾狄胥·帕爾提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數${\displaystyle c}$可以任意大的人。^[24]這點在2014年由凱文·福特（英語：Kevin Ford (mathematician)）、本·格林（英語：Ben Green (mathematician)）、謝爾蓋·科尼亞金（英語：Sergei Konyagin）和陶哲軒四人組以及詹姆斯·梅納德分別獨立證出。^[25][26]

之後這結果被上述五人改進成對無限多個n而言，以下不等式成立：^[27]

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

做為向艾狄胥原始獎金精神的致意，陶哲軒提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數${\displaystyle c}$可以任意大的人。^[28]

目前也已知關於質數鏈的下界。^[29]

關於質數間隙的猜想

如上所言，目前已知最好的關於質數間隙的結果是對於足夠大的n而言，${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{0.525}}$（因此諸如${\displaystyle 5-3>3^{0.525}}$或${\displaystyle 29-23>23^{0.525}}$這樣的情況是不考慮的）但目前觀察到的結果是，即使最大的間隙，也遠小於此，也因此生出了一系列未證明的猜想。

首先，有猜想認為，對於上述何海賽爾的結果，有${\displaystyle \theta =0.5}$。

勒讓德猜想認為，在兩個完全平方數之間，都總有一個質數，而這意味着說，${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}})}$；安德里卡猜想則指出說：^[30]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$

奧珀曼猜想意味着更強的結果，就是對於任意足夠大的n而言（或許對任何的${\displaystyle n>30}$而言），總有以下關係：

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

上述的關係都未得證明，而哈拉爾德·克拉梅爾證明了說若黎曼猜想成立，那在用大O符號表述的狀況下，質數間隙${\displaystyle g_{n}}$會滿足以下關係：^[31]

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

（實際上，如果允許任意大的指數的話，這結果只需要較弱的林德勒夫猜想^[32]）

質數間隙函數

與此同時，克拉梅爾也猜想說質數間隙遠小於此，而他的猜想即是克拉梅爾猜想，克拉梅爾猜想表示說：

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,}$

也就是說，其成長率是一個小於任何指數${\displaystyle \theta >0}$的多對數函數。

克拉梅爾猜想符合觀察到的質數間隙，此外也有其他類似的猜想。菲魯茲巴赫特猜想稍強於此，菲魯茲巴赫特猜想認為，${\displaystyle p_{n}^{1/n}\!}$是個對n的嚴格遞減函數，也就是說，對於任意的${\displaystyle n\geq 1}$而言，有以下關係：

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}}$

若這猜想成立，就表示說對於任意的${\displaystyle n>9}$而言，有${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1}$^[33][34]從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與安德魯·格蘭維爾（英語：Andrew Granville）、平茨·亞諾什（匈牙利語：Pintz János）等人的猜測不一致。^[35][36][37]他們的猜測認為，對於${\displaystyle \varepsilon >0,}$而言，有無限多質數間隙，使得${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}>(1.1229-\varepsilon )(\log p_{n})^{2}}$，其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

波利尼亞克猜想表示說，對於任何的正偶數k，都總有無限多個質數間隙等於k。{{{1}}}的情況即孿生質數猜想。目前尚未對這猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由於張益唐以及隨後的改進，目前已知這猜想對至少一個${\displaystyle k\leq 246}$成立。

作為數論函數

表示第n個質數及其之後的質數間隙的${\displaystyle g_{n}}$是數論函數的一個例子，在將之視為數論函數的狀況下，一般都把質數間隙給記做${\displaystyle d_{n}}$並稱之為質數差函數。^[30]這函數非積性函數，也非加性函數。

另見

• 數學主題

• Bonse不等式
• Interprime
• Gaussian moat（英語：Gaussian moat）
• 孿生質數

• 孿生質數猜想